Integral de x^(3)sqr(9-x^(2)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{3}}{2} - 9 u^{2} + \frac{81 u}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{3}}{2}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 9 u^{2}\right)\, du = - 9 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 u^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{81 u}{2}\, du = \frac{81 \int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 u^{2}}{4}$

         El resultado es: $\frac{u^{4}}{8} - 3 u^{3} + \frac{81 u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{8}}{8} - 3 x^{6} + \frac{81 x^{4}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{3} \left(9 - x^{2}\right)^{2} = x^{7} - 18 x^{5} + 81 x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 18 x^{5}\right)\, dx = - 18 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 81 x^{3}\, dx = 81 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 x^{4}}{4}$

      El resultado es: $\frac{x^{8}}{8} - 3 x^{6} + \frac{81 x^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{4} \left(x^{4} - 24 x^{2} + 162\right)}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4} \left(x^{4} - 24 x^{2} + 162\right)}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \left(x^{4} - 24 x^{2} + 162\right)}{8}+ \mathrm{constant}$