Integral de (4*sqrt(ln(x)))/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $4 du$:

      $\int 4 \sqrt{u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = 4 \int \sqrt{u}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{8 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- 4 du$:

      $\int \left(- \frac{4 \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du = - 4 \int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(u \right)}}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\sqrt{\log{\left(u \right)}}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{\log{\left(u \right)}}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

                  $\int \sqrt{u}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{2 \log{\left(u \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \log{\left(u \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 \left(- \log{\left(u \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 \left(- \log{\left(u \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{8 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{8 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{8 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$