Integral de (x^2+3*x+1)*exp(x-1) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 1\right) e^{x - 1} = \frac{x^{2} e^{x}}{e} + \frac{3 x e^{x}}{e} + \frac{e^{x}}{e}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{2} e^{x}}{e}\, dx = \frac{\int x^{2} e^{x}\, dx}{e}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = 2 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{x}\, dx = 2 \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{e}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 x e^{x}}{e}\, dx = \frac{3 \int x e^{x}\, dx}{e}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{e}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{e^{x}}{e}\, dx = \frac{\int e^{x}\, dx}{e}$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{x}}{e}$

   El resultado es: $\frac{3 \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{e} + \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{e} + \frac{e^{x}}{e}$

3. Ahora simplificar:

   $x \left(x + 1\right) e^{x - 1}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(x + 1\right) e^{x - 1}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(x + 1\right) e^{x - 1}+ \mathrm{constant}$