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Resolución de integrales/ (lnx)^2/ ((lnx)^2+4lnx+1)/x

Integral de ((lnx)^2+4lnx+1)/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
  /                          
 |                           
 |     2                     
 |  log (x) + 4*log(x) + 1   
 |  ---------------------- dx
 |            x              
 |                           
/                            
0
∫01(log⁡(x)2+4log⁡(x))+1x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 4 \log{\left(x \right)}\right) + 1}{x}\, dx 
Integral((log(x)^2 + 4*log(x) + 1)/x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(u2+4u+1) du\int \left(u^{2} + 4 u + 1\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4u du=4∫u du\int 4 u\, du = 4 \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u22 u^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        El resultado es: u33+2u2+u\frac{u^{3}}{3} + 2 u^{2} + u

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(x)33+2log⁡(x)2+log⁡(x)\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + 2 \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (log⁡(x)2+4log⁡(x))+1x=log⁡(x)2x+4log⁡(x)x+1x\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 4 \log{\left(x \right)}\right) + 1}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} + \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−log⁡(1u)2u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫log⁡(1u)2u du=−∫log⁡(1u)2u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du

          1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

            ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −log⁡(1u)33- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)33\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x)33\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4log⁡(x)x dx=4∫log⁡(x)x dx\int \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = 4 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)u du=−∫log⁡(1u)u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)22- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)22\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)22\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x)22 \log{\left(x \right)}^{2}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: log⁡(x)33+2log⁡(x)2+log⁡(x)\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + 2 \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    (log⁡(x)2+6log⁡(x)+3)log⁡(x)3\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} + 3\right) \log{\left(x \right)}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (log⁡(x)2+6log⁡(x)+3)log⁡(x)3+constant\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} + 3\right) \log{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(log⁡(x)2+6log⁡(x)+3)log⁡(x)3+constant\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} + 3\right) \log{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                                                             
 |    2                                           3            
 | log (x) + 4*log(x) + 1               2      log (x)         
 | ---------------------- dx = C + 2*log (x) + ------- + log(x)
 |           x                                    3            
 |                                                             
/
∫(log⁡(x)2+4log⁡(x))+1x dx=C+log⁡(x)33+2log⁡(x)2+log⁡(x)\int \frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 4 \log{\left(x \right)}\right) + 1}{x}\, dx = C + \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + 2 \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
24724.6147081059
24724.6147081059

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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