Integral de e^x*sqrt(1+e^x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \sqrt{u + 1}\, du$

      1. que $u = u + 1$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \sqrt{u}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \left(u + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(e^{x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = e^{x} + 1$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \sqrt{u}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(e^{x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(e^{x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(e^{x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(e^{x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$