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Resolución de integrales/ (x-2)/ (x+1)/ x/(x+1)(x-2)^2

Integral de x/(x+1)(x-2)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |    x          2   
 |  -----*(x - 2)  dx
 |  x + 1            
 |                   
/                    
0
∫01xx+1(x−2)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} \left(x - 2\right)^{2}\, dx 
Integral((x/(x + 1))*(x - 2)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xx+1(x−2)2=x2−5x+9−9x+1\frac{x}{x + 1} \left(x - 2\right)^{2} = x^{2} - 5 x + 9 - \frac{9}{x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5x) dx=−5∫x dx\int \left(- 5 x\right)\, dx = - 5 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −5x22- \frac{5 x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫9 dx=9x\int 9\, dx = 9 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−9x+1) dx=−9∫1x+1 dx\int \left(- \frac{9}{x + 1}\right)\, dx = - 9 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −9log⁡(x+1)- 9 \log{\left(x + 1 \right)}

      El resultado es: x33−5x22+9x−9log⁡(x+1)\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 9 x - 9 \log{\left(x + 1 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xx+1(x−2)2=x3−4x2+4xx+1\frac{x}{x + 1} \left(x - 2\right)^{2} = \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x}{x + 1}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x3−4x2+4xx+1=x2−5x+9−9x+1\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x}{x + 1} = x^{2} - 5 x + 9 - \frac{9}{x + 1}

    3. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5x) dx=−5∫x dx\int \left(- 5 x\right)\, dx = - 5 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −5x22- \frac{5 x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫9 dx=9x\int 9\, dx = 9 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−9x+1) dx=−9∫1x+1 dx\int \left(- \frac{9}{x + 1}\right)\, dx = - 9 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −9log⁡(x+1)- 9 \log{\left(x + 1 \right)}

      El resultado es: x33−5x22+9x−9log⁡(x+1)\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 9 x - 9 \log{\left(x + 1 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xx+1(x−2)2=x3x+1−4x2x+1+4xx+1\frac{x}{x + 1} \left(x - 2\right)^{2} = \frac{x^{3}}{x + 1} - \frac{4 x^{2}}{x + 1} + \frac{4 x}{x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x3x+1=x2−x+1−1x+1\frac{x^{3}}{x + 1} = x^{2} - x + 1 - \frac{1}{x + 1}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

        El resultado es: x33−x22+x−log⁡(x+1)\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - \log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4x2x+1) dx=−4∫x2x+1 dx\int \left(- \frac{4 x^{2}}{x + 1}\right)\, dx = - 4 \int \frac{x^{2}}{x + 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x+1=x−1+1x+1\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          El resultado es: x22−x+log⁡(x+1)\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2x2+4x−4log⁡(x+1)- 2 x^{2} + 4 x - 4 \log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xx+1 dx=4∫xx+1 dx\int \frac{4 x}{x + 1}\, dx = 4 \int \frac{x}{x + 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xx+1=1−1x+1\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

            1. que u=x+1u = x + 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

          El resultado es: x−log⁡(x+1)x - \log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x−4log⁡(x+1)4 x - 4 \log{\left(x + 1 \right)}

      El resultado es: x33−5x22+9x−9log⁡(x+1)\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 9 x - 9 \log{\left(x + 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x33−5x22+9x−9log⁡(x+1)+constant\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 9 x - 9 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x33−5x22+9x−9log⁡(x+1)+constant\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 9 x - 9 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                      
 |                                                 2    3
 |   x          2                               5*x    x 
 | -----*(x - 2)  dx = C - 9*log(1 + x) + 9*x - ---- + --
 | x + 1                                         2     3 
 |                                                       
/
∫xx+1(x−2)2 dx=C+x33−5x22+9x−9log⁡(x+1)\int \frac{x}{x + 1} \left(x - 2\right)^{2}\, dx = C + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 9 x - 9 \log{\left(x + 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
41/6 - 9*log(2)
416−9log⁡(2)\frac{41}{6} - 9 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
41/6 - 9*log(2)
416−9log⁡(2)\frac{41}{6} - 9 \log{\left(2 \right)} 
41/6 - 9*log(2)
Respuesta numérica [src] 
0.595008708293826
0.595008708293826

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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