Integral de [ln(t+2)]+[t^2+1] dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int t^{2}\, dt = \frac{t^{3}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dt = t$

      El resultado es: $\frac{t^{3}}{3} + t$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = t + 2$.

         Luego que $du = dt$ y ponemos $du$:

         $\int \log{\left(u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- t + \left(t + 2\right) \log{\left(t + 2 \right)} - 2$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(t \right)} = \log{\left(t + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = \frac{1}{t + 2}$.

         Para buscar $v{\left(t \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dt = t$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{t}{t + 2} = 1 - \frac{2}{t + 2}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dt = t$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2}{t + 2}\right)\, dt = - 2 \int \frac{1}{t + 2}\, dt$

            1. que $u = t + 2$.

               Luego que $du = dt$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(t + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(t + 2 \right)}$

         El resultado es: $t - 2 \log{\left(t + 2 \right)}$

   El resultado es: $\frac{t^{3}}{3} + \left(t + 2\right) \log{\left(t + 2 \right)} - 2$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{t^{3}}{3} + \left(t + 2\right) \log{\left(t + 2 \right)} - 2$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{t^{3}}{3} + \left(t + 2\right) \log{\left(t + 2 \right)} - 2+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{t^{3}}{3} + \left(t + 2\right) \log{\left(t + 2 \right)} - 2+ \mathrm{constant}$