Sr Examen

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Integral de [ln(t+2)]+[t^2+1] dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  9                         
  /                         
 |                          
 |  /              2    \   
 |  \log(t + 2) + t  + 1/ dt
 |                          
/                           
0                           
09((t2+1)+log(t+2))dt\int\limits_{0}^{9} \left(\left(t^{2} + 1\right) + \log{\left(t + 2 \right)}\right)\, dt
Integral(log(t + 2) + t^2 + 1, (t, 0, 9))
Solución detallada
  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. Integral tnt^{n} es tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        t2dt=t33\int t^{2}\, dt = \frac{t^{3}}{3}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1dt=t\int 1\, dt = t

      El resultado es: t33+t\frac{t^{3}}{3} + t

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=t+2u = t + 2.

        Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

        log(u)du\int \log{\left(u \right)}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=log(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

          Entonces du(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            1du=u\int 1\, du = u

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          1du=u\int 1\, du = u

        Si ahora sustituir uu más en:

        t+(t+2)log(t+2)2- t + \left(t + 2\right) \log{\left(t + 2 \right)} - 2

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(t)=log(t+2)u{\left(t \right)} = \log{\left(t + 2 \right)} y que dv(t)=1\operatorname{dv}{\left(t \right)} = 1.

        Entonces du(t)=1t+2\operatorname{du}{\left(t \right)} = \frac{1}{t + 2}.

        Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          1dt=t\int 1\, dt = t

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        tt+2=12t+2\frac{t}{t + 2} = 1 - \frac{2}{t + 2}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          1dt=t\int 1\, dt = t

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (2t+2)dt=21t+2dt\int \left(- \frac{2}{t + 2}\right)\, dt = - 2 \int \frac{1}{t + 2}\, dt

          1. que u=t+2u = t + 2.

            Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(t+2)\log{\left(t + 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2log(t+2)- 2 \log{\left(t + 2 \right)}

        El resultado es: t2log(t+2)t - 2 \log{\left(t + 2 \right)}

    El resultado es: t33+(t+2)log(t+2)2\frac{t^{3}}{3} + \left(t + 2\right) \log{\left(t + 2 \right)} - 2

  2. Ahora simplificar:

    t33+(t+2)log(t+2)2\frac{t^{3}}{3} + \left(t + 2\right) \log{\left(t + 2 \right)} - 2

  3. Añadimos la constante de integración:

    t33+(t+2)log(t+2)2+constant\frac{t^{3}}{3} + \left(t + 2\right) \log{\left(t + 2 \right)} - 2+ \mathrm{constant}


Respuesta:

t33+(t+2)log(t+2)2+constant\frac{t^{3}}{3} + \left(t + 2\right) \log{\left(t + 2 \right)} - 2+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
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 |                                      3                     
 | /              2    \               t                      
 | \log(t + 2) + t  + 1/ dt = -2 + C + -- + (t + 2)*log(t + 2)
 |                                     3                      
/                                                             
((t2+1)+log(t+2))dt=C+t33+(t+2)log(t+2)2\int \left(\left(t^{2} + 1\right) + \log{\left(t + 2 \right)}\right)\, dt = C + \frac{t^{3}}{3} + \left(t + 2\right) \log{\left(t + 2 \right)} - 2
Gráfica
0.09.01.02.03.04.05.06.07.08.00500
Respuesta [src]
243 - 2*log(2) + 11*log(11)
2log(2)+11log(11)+243- 2 \log{\left(2 \right)} + 11 \log{\left(11 \right)} + 243
=
=
243 - 2*log(2) + 11*log(11)
2log(2)+11log(11)+243- 2 \log{\left(2 \right)} + 11 \log{\left(11 \right)} + 243
243 - 2*log(2) + 11*log(11)
Respuesta numérica [src]
267.990553639662
267.990553639662

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.