Integral de (2x^3-3sin(4x)-6/sqrtx^2+7+e^x+1) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      1. Integramos término a término:

         1. Integramos término a término:

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 3 \sin{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(4 x \right)}\, dx$

                  1. que $u = 4 x$.

                     Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. La integral del seno es un coseno menos:

                           $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{4}$

               El resultado es: $\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{6}{\left(\sqrt{x}\right)^{2}}\right)\, dx = - 6 \int \frac{1}{\left(\sqrt{x}\right)^{2}}\, dx$

               1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

                  Pero la integral

                  $\log{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 6 \log{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} \right)}$

            El resultado es: $\frac{x^{4}}{2} - 6 \log{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} \right)} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 7\, dx = 7 x$

         El resultado es: $\frac{x^{4}}{2} + 7 x - 6 \log{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} \right)} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{4}$

      El resultado es: $e^{x} + \frac{x^{4}}{2} + 7 x - 6 \log{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} \right)} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{4}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $e^{x} + \frac{x^{4}}{2} + 8 x - 6 \log{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} \right)} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{4}}{2} + 8 x + e^{x} - 6 \log{\left(x \right)} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4}}{2} + 8 x + e^{x} - 6 \log{\left(x \right)} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4}}{2} + 8 x + e^{x} - 6 \log{\left(x \right)} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$