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Resolución de integrales/ (3x+1)/ x^2*exp(3x+1)

Integral de x^2*exp(3x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |   2  3*x + 1   
 |  x *e        dx
 |                
/                 
0
∫01x2e3x+1 dx\int\limits_{0}^{1} x^{2} e^{3 x + 1}\, dx 
Integral(x^2*exp(3*x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2e3x+1=ex2e3xx^{2} e^{3 x + 1} = e x^{2} e^{3 x}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫ex2e3x dx=e∫x2e3x dx\int e x^{2} e^{3 x}\, dx = e \int x^{2} e^{3 x}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=e3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=2x3u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{3} y que dv⁡(x)=e3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}.

        Entonces du⁡(x)=23\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{3}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2e3x9 dx=2∫e3x dx9\int \frac{2 e^{3 x}}{9}\, dx = \frac{2 \int e^{3 x}\, dx}{9}

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2e3x27\frac{2 e^{3 x}}{27}

      Por lo tanto, el resultado es: e(x2e3x3−2xe3x9+2e3x27)e \left(\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}\right)

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2e3x+1=ex2e3xx^{2} e^{3 x + 1} = e x^{2} e^{3 x}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫ex2e3x dx=e∫x2e3x dx\int e x^{2} e^{3 x}\, dx = e \int x^{2} e^{3 x}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=e3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=2x3u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{3} y que dv⁡(x)=e3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}.

        Entonces du⁡(x)=23\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{3}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2e3x9 dx=2∫e3x dx9\int \frac{2 e^{3 x}}{9}\, dx = \frac{2 \int e^{3 x}\, dx}{9}

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2e3x27\frac{2 e^{3 x}}{27}

      Por lo tanto, el resultado es: e(x2e3x3−2xe3x9+2e3x27)e \left(\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}\right)

  2. Ahora simplificar:

    (9x2−6x+2)e3x+127\frac{\left(9 x^{2} - 6 x + 2\right) e^{3 x + 1}}{27}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (9x2−6x+2)e3x+127+constant\frac{\left(9 x^{2} - 6 x + 2\right) e^{3 x + 1}}{27}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(9x2−6x+2)e3x+127+constant\frac{\left(9 x^{2} - 6 x + 2\right) e^{3 x + 1}}{27}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
 |                        /   3*x        3*x    2  3*x\
 |  2  3*x + 1            |2*e      2*x*e      x *e   |
 | x *e        dx = C + E*|------ - -------- + -------|
 |                        \  27        9          3   /
/
∫x2e3x+1 dx=C+e(x2e3x3−2xe3x9+2e3x27)\int x^{2} e^{3 x + 1}\, dx = C + e \left(\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}\right)
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900100
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
           4
  2*E   5*e 
- --- + ----
   27    27
−2e27+5e427- \frac{2 e}{27} + \frac{5 e^{4}}{27} 
=
= 
           4
  2*E   5*e 
- --- + ----
   27    27
−2e27+5e427- \frac{2 e}{27} + \frac{5 e^{4}}{27} 
-2*E/27 + 5*exp(4)/27
Respuesta numérica [src] 
9.90941431514086
9.90941431514086

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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