Integral de 1/2*x*(sqrt(x)+a*sqrt(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(a u^{4} + u^{4}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{4} a\, du = a \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5} a}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         El resultado es: $\frac{u^{5} a}{5} + \frac{u^{5}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{a x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{2} \left(a \sqrt{x} + \sqrt{x}\right) = \frac{a x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{a x^{\frac{3}{2}}}{2}\, dx = \frac{a \int x^{\frac{3}{2}}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}\, dx = \frac{\int x^{\frac{3}{2}}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      El resultado es: $\frac{a x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{\frac{5}{2}} \left(a + 1\right)}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{\frac{5}{2}} \left(a + 1\right)}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{\frac{5}{2}} \left(a + 1\right)}{5}+ \mathrm{constant}$