Integral de x^2/sqrt(1+x) dx

1. que $u = \sqrt{x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 1}}$ y ponemos $2 du$:

   $\int 2 \left(u^{2} - 1\right)^{2}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(u^{2} - 1\right)^{2}\, du = 2 \int \left(u^{2} - 1\right)^{2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(u^{2} - 1\right)^{2} = u^{4} - 2 u^{2} + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5} - \frac{4 u^{3}}{3} + 2 u$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x + 1}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x + 1} \left(3 x^{2} - 4 x + 8\right)}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x + 1} \left(3 x^{2} - 4 x + 8\right)}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x + 1} \left(3 x^{2} - 4 x + 8\right)}{15}+ \mathrm{constant}$