Integral de x/(1-sqrt(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- \frac{2 u^{3}}{u - 1}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{3}}{u - 1}\, du = - 2 \int \frac{u^{3}}{u - 1}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{3}}{u - 1} = u^{2} + u + 1 + \frac{1}{u - 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. que $u = u - 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u - 1 \right)}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{2}}{2} + u + \log{\left(u - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3} - u^{2} - 2 u - 2 \log{\left(u - 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x} - x - 2 \log{\left(\sqrt{x} - 1 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{1 - \sqrt{x}} = - \frac{x}{\sqrt{x} - 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{\sqrt{x} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{\sqrt{x} - 1}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2 u^{3}}{u - 1}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{3}}{u - 1}\, du = 2 \int \frac{u^{3}}{u - 1}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{3}}{u - 1} = u^{2} + u + 1 + \frac{1}{u - 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. que $u = u - 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u - 1 \right)}$

               El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{2}}{2} + u + \log{\left(u - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} + u^{2} + 2 u + 2 \log{\left(u - 1 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x} + x + 2 \log{\left(\sqrt{x} - 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x} - x - 2 \log{\left(\sqrt{x} - 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x} - x - 2 \log{\left(\sqrt{x} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x} - x - 2 \log{\left(\sqrt{x} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$