Integral de (log(x))/2x^3 dx

1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

   $\int \frac{u e^{4 u}}{2}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u e^{4 u}\, du = \frac{\int u e^{4 u}\, du}{2}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = 4 u$.

            Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 u}}{4}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}$

         1. que $u = 4 u$.

            Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 u}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 u}}{16}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{e^{4 u}}{32}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{8} - \frac{x^{4}}{32}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{4} \left(4 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{32}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4} \left(4 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{32}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \left(4 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{32}+ \mathrm{constant}$