Integral de (2*x+1)*(4*x-1)/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(16 u^{4} + 4 u^{2} - 2\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 16 u^{4}\, du = 16 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u^{2}\, du = 4 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

         El resultado es: $\frac{16 u^{5}}{5} + \frac{4 u^{3}}{3} - 2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{16 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(2 x + 1\right) \left(4 x - 1\right)}{\sqrt{x}} = \frac{8 x^{2} + 2 x - 1}{\sqrt{x}}$

   2. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{4} - 4 u^{2} - 16}{u^{6}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u^{4} - 4 u^{2} - 16}{u^{6}} = \frac{2}{u^{2}} - \frac{4}{u^{4}} - \frac{16}{u^{6}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{4}{u^{4}}\right)\, du = - 4 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{3 u^{3}}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{16}{u^{6}}\right)\, du = - 16 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16}{5 u^{5}}$

         El resultado es: $- \frac{2}{u} + \frac{4}{3 u^{3}} + \frac{16}{5 u^{5}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{16 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(2 x + 1\right) \left(4 x - 1\right)}{\sqrt{x}} = 8 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 x^{\frac{3}{2}}\, dx = 8 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sqrt{x}\, dx = 2 \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $\frac{16 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(24 x^{2} + 10 x - 15\right)}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(24 x^{2} + 10 x - 15\right)}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x} \left(24 x^{2} + 10 x - 15\right)}{15}+ \mathrm{constant}$