Integral de (3/2)*(sinx)^3*sin(2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)} = 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$