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Resolución de integrales/ sin(x)/ sin^3/ sin(x)-sin^3(x)

Integral de sin(x)-sin^3(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi                     
   /                      
  |                       
  |  /            3   \   
  |  \sin(x) - sin (x)/ dx
  |                       
 /                        
 0
∫02π(−sin⁡3(x)+sin⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{2 \pi} \left(- \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral(sin(x) - sin(x)^3, (x, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡3(x)) dx=−∫sin⁡3(x) dx\int \left(- \sin^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡3(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(u2−1) du\int \left(u^{2} - 1\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−1) du=−u\int \left(-1\right)\, du = - u

            El resultado es: u33−u\frac{u^{3}}{3} - u

          Si ahora sustituir uu más en:

          cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: cos⁡3(x)3\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          El resultado es: cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

        Método #3

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: cos⁡3(x)3\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          El resultado es: cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡3(x)3+cos⁡(x)- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    El resultado es: −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −cos⁡3(x)3+constant- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−cos⁡3(x)3+constant- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                   
 |                                3   
 | /            3   \          cos (x)
 | \sin(x) - sin (x)/ dx = C - -------
 |                                3   
/
∫(−sin⁡3(x)+sin⁡(x)) dx=C−cos⁡3(x)3\int \left(- \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = C - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.01.0-1.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
-2.23158236774542e-22
-2.23158236774542e-22

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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