Sr Examen

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Integral de x^2exp(-ax^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 oo             
  /             
 |              
 |          2   
 |   2  -a*x    
 |  x *e      dx
 |              
/               
-oo             
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{- a x^{2}}\, dx$$
Integral(x^2*exp((-a)*x^2), (x, -oo, oo))
Solución detallada
  1. Usamos la integración por partes:

    que y que .

    Entonces .

    Para buscar :

      ErfRule(a=-a, b=0, c=0, context=exp(-a*x**2), symbol=x)

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

    Por lo tanto, el resultado es:

  3. Ahora simplificar:

  4. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
                                                                                                                 _____             
  /                                                                                                  ____  2    / -1       / a*x  \
 |                                     /                                                    2  \   \/ pi *x *  /  --- *erfi|------|
 |         2                     _____ |   2     /      ___\       /      ___\          -a*x   |             \/    a       |  ____|
 |  2  -a*x             ____    / -1   |  x *erfi\I*x*\/ a /   erfi\I*x*\/ a /     I*x*e       |                           \\/ -a /
 | x *e      dx = C + \/ pi *  /  --- *|- ------------------ + --------------- - --------------| - --------------------------------
 |                           \/    a   |          2                  4*a             ____   ___|                  2                
/                                      \                                         2*\/ pi *\/ a /                                   
$$\int x^{2} e^{- a x^{2}}\, dx = C - \frac{\sqrt{\pi} x^{2} \sqrt{- \frac{1}{a}} \operatorname{erfi}{\left(\frac{a x}{\sqrt{- a}} \right)}}{2} + \sqrt{\pi} \sqrt{- \frac{1}{a}} \left(- \frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}}{2} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}}{4 a} - \frac{i x e^{- a x^{2}}}{2 \sqrt{\pi} \sqrt{a}}\right)$$
Respuesta [src]
/       ____                        
|     \/ pi                       pi
|     ------       for |arg(a)| < --
|        3/2                      2 
|     2*a                           
|                                   
| oo                                
<  /                                
| |                                 
| |          2                      
| |   2  -a*x                       
| |  x *e      dx      otherwise    
| |                                 
|/                                  
\-oo                                
$$\begin{cases} \frac{\sqrt{\pi}}{2 a^{\frac{3}{2}}} & \text{for}\: \left|{\arg{\left(a \right)}}\right| < \frac{\pi}{2} \\\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{- a x^{2}}\, dx & \text{otherwise} \end{cases}$$
=
=
/       ____                        
|     \/ pi                       pi
|     ------       for |arg(a)| < --
|        3/2                      2 
|     2*a                           
|                                   
| oo                                
<  /                                
| |                                 
| |          2                      
| |   2  -a*x                       
| |  x *e      dx      otherwise    
| |                                 
|/                                  
\-oo                                
$$\begin{cases} \frac{\sqrt{\pi}}{2 a^{\frac{3}{2}}} & \text{for}\: \left|{\arg{\left(a \right)}}\right| < \frac{\pi}{2} \\\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{- a x^{2}}\, dx & \text{otherwise} \end{cases}$$
Piecewise((sqrt(pi)/(2*a^(3/2)), Abs(arg(a)) < pi/2), (Integral(x^2*exp(-a*x^2), (x, -oo, oo)), True))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.