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Resolución de integrales/ cosxsinx*((cosx)^2-(sinx)^2)^(1/2)dx

Integral de cosxsinx*((cosx)^2-(sinx)^2)^(1/2)dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                        
  /                                        
 |                                         
 |                   ___________________   
 |                  /    2         2       
 |  cos(x)*sin(x)*\/  cos (x) - sin (x)  dx
 |                                         
/                                          
0
∫01sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡2(x)+cos⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \sqrt{- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral((cos(x)*sin(x))*sqrt(cos(x)^2 - sin(x)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)u = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}.

    Luego que du=−4sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos −du4- \frac{du}{4}:

    ∫(−u4) du\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{4}\right)\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫u du=−∫u du4\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{4}

      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫u du=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −u326- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{6}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −(−sin⁡2(x)+cos⁡2(x))326- \frac{\left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{6}

  2. Ahora simplificar:

    −cos⁡32(2x)6- \frac{\cos^{\frac{3}{2}}{\left(2 x \right)}}{6}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −cos⁡32(2x)6+constant- \frac{\cos^{\frac{3}{2}}{\left(2 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−cos⁡32(2x)6+constant- \frac{\cos^{\frac{3}{2}}{\left(2 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                    
 |                                                                  3/2
 |                  ___________________          /   2         2   \   
 |                 /    2         2              \cos (x) - sin (x)/   
 | cos(x)*sin(x)*\/  cos (x) - sin (x)  dx = C - ----------------------
 |                                                         6           
/
∫sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡2(x)+cos⁡2(x) dx=C−(−sin⁡2(x)+cos⁡2(x))326\int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \sqrt{- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{6}
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.5-0.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       ___________________              ___________________        
      /    2         2        2        /    2         2        2   
1   \/  cos (1) - sin (1) *cos (1)   \/  cos (1) - sin (1) *sin (1)
- - ------------------------------ + ------------------------------
6                 6                                6
16−−sin⁡2(1)+cos⁡2(1)cos⁡2(1)6+−sin⁡2(1)+cos⁡2(1)sin⁡2(1)6\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{- \sin^{2}{\left(1 \right)} + \cos^{2}{\left(1 \right)}} \cos^{2}{\left(1 \right)}}{6} + \frac{\sqrt{- \sin^{2}{\left(1 \right)} + \cos^{2}{\left(1 \right)}} \sin^{2}{\left(1 \right)}}{6} 
=
= 
       ___________________              ___________________        
      /    2         2        2        /    2         2        2   
1   \/  cos (1) - sin (1) *cos (1)   \/  cos (1) - sin (1) *sin (1)
- - ------------------------------ + ------------------------------
6                 6                                6
16−−sin⁡2(1)+cos⁡2(1)cos⁡2(1)6+−sin⁡2(1)+cos⁡2(1)sin⁡2(1)6\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{- \sin^{2}{\left(1 \right)} + \cos^{2}{\left(1 \right)}} \cos^{2}{\left(1 \right)}}{6} + \frac{\sqrt{- \sin^{2}{\left(1 \right)} + \cos^{2}{\left(1 \right)}} \sin^{2}{\left(1 \right)}}{6} 
1/6 - sqrt(cos(1)^2 - sin(1)^2)*cos(1)^2/6 + sqrt(cos(1)^2 - sin(1)^2)*sin(1)^2/6
Respuesta numérica [src] 
(0.166644691984575 + 0.0447977230063355j)
(0.166644691984575 + 0.0447977230063355j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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