Integral de 3^sqrt(6x-5)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(\sqrt{6 x - 5}\right)^{2}$.

      Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

      $\int \frac{3^{u}}{6}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{6}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{6 \log{\left(3 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3^{\left(\sqrt{6 x - 5}\right)^{2}}}{6 \log{\left(3 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $3^{\left(\sqrt{6 x - 5}\right)^{2}} = \frac{3^{6 x}}{243}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3^{6 x}}{243}\, dx = \frac{\int 3^{6 x}\, dx}{243}$

      1. que $u = 6 x$.

         Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{3^{u}}{6}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{6}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{6 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3^{6 x}}{6 \log{\left(3 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{6 x}}{1458 \log{\left(3 \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $3^{\left(\sqrt{6 x - 5}\right)^{2}} = \frac{3^{6 x}}{243}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3^{6 x}}{243}\, dx = \frac{\int 3^{6 x}\, dx}{243}$

      1. que $u = 6 x$.

         Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{3^{u}}{6}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{6}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{6 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3^{6 x}}{6 \log{\left(3 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{6 x}}{1458 \log{\left(3 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3^{6 x}}{1458 \log{\left(3 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3^{6 x}}{1458 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3^{6 x}}{1458 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$