Integral de (6*sin(t)*cos(t)+3*cos(t)+2*sin(t))*(-3*sin(t))+(6*sin(t)*cos(t)+3*cos(t)-2*sin(t))*2*cos(t) dt

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\left(6 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + 3 \cos{\left(t \right)}\right) + 2 \sin{\left(t \right)}\right) \left(- 3 \sin{\left(t \right)}\right) = - 18 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} - 6 \sin^{2}{\left(t \right)} - 9 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 18 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 18 \int \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$

            1. que $u = \sin{\left(t \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(t \right)} dt$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 6 \sin^{3}{\left(t \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - 6 \int \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\sin^{2}{\left(t \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

                  1. que $u = 2 t$.

                     Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

               El resultado es: $\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 t + \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 9 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 9 \int \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$

            1. que $u = \cos{\left(t \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(t \right)} dt$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u\, du = - \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 \cos^{2}{\left(t \right)}}{2}$

         El resultado es: $- 3 t - 6 \sin^{3}{\left(t \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{9 \cos^{2}{\left(t \right)}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\left(6 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + 3 \cos{\left(t \right)}\right) + 2 \sin{\left(t \right)}\right) \left(- 3 \sin{\left(t \right)}\right) = - 18 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} - 6 \sin^{2}{\left(t \right)} - 9 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 18 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 18 \int \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$

            1. que $u = \sin{\left(t \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(t \right)} dt$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 6 \sin^{3}{\left(t \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - 6 \int \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\sin^{2}{\left(t \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

                  1. que $u = 2 t$.

                     Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

               El resultado es: $\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 t + \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 9 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 9 \int \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$

            1. que $u = \cos{\left(t \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(t \right)} dt$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u\, du = - \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 \cos^{2}{\left(t \right)}}{2}$

         El resultado es: $- 3 t - 6 \sin^{3}{\left(t \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{9 \cos^{2}{\left(t \right)}}{2}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $2 \left(\left(6 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + 3 \cos{\left(t \right)}\right) - 2 \sin{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)} = 12 \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)} - 4 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + 6 \cos^{2}{\left(t \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = 12 \int \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$

         1. que $u = \cos{\left(t \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(t \right)} dt$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(t \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \cos^{3}{\left(t \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 4 \int \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$

         1. que $u = \cos{\left(t \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(t \right)} dt$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \cos^{2}{\left(t \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = 6 \int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

               1. que $u = 2 t$.

                  Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

            El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 t + \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{2}$

      El resultado es: $3 t + \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{2} - 4 \cos^{3}{\left(t \right)} + 2 \cos^{2}{\left(t \right)}$

   El resultado es: $- 6 \sin^{3}{\left(t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)} - 4 \cos^{3}{\left(t \right)} + \frac{13 \cos^{2}{\left(t \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 6 \sin^{3}{\left(t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)} - 4 \cos^{3}{\left(t \right)} + \frac{13 \cos^{2}{\left(t \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 6 \sin^{3}{\left(t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)} - 4 \cos^{3}{\left(t \right)} + \frac{13 \cos^{2}{\left(t \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$