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Resolución de integrales/ x^(2)/ cos(x)/ exp(-x^(2))*cos(x)

Integral de exp(-x^(2))*cos(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |     2          
 |   -x           
 |  e   *cos(x) dx
 |                
/                 
0
∫01e−x2cos⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} e^{- x^{2}} \cos{\left(x \right)}\, dx 
Integral(exp(-x^2)*cos(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=cos⁡(x)u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=e−x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x^{2}}.

    Entonces du⁡(x)=−sin⁡(x)\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      ErfRule(a=-1, b=0, c=0, context=exp(-x**2), symbol=x)

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−πsin⁡(x)erf⁡(x)2) dx=−π∫sin⁡(x)erf⁡(x) dx2\int \left(- \frac{\sqrt{\pi} \sin{\left(x \right)} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\sqrt{\pi} \int \sin{\left(x \right)} \operatorname{erf}{\left(x \right)}\, dx}{2}

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      ∫sin⁡(x)erf⁡(x) dx\int \sin{\left(x \right)} \operatorname{erf}{\left(x \right)}\, dx

    Por lo tanto, el resultado es: −π∫sin⁡(x)erf⁡(x) dx2- \frac{\sqrt{\pi} \int \sin{\left(x \right)} \operatorname{erf}{\left(x \right)}\, dx}{2}

  3. Ahora simplificar:

    π(cos⁡(x)erf⁡(x)+∫sin⁡(x)erf⁡(x) dx)2\frac{\sqrt{\pi} \left(\cos{\left(x \right)} \operatorname{erf}{\left(x \right)} + \int \sin{\left(x \right)} \operatorname{erf}{\left(x \right)}\, dx\right)}{2}

  4. Añadimos la constante de integración:

    π(cos⁡(x)erf⁡(x)+∫sin⁡(x)erf⁡(x) dx)2+constant\frac{\sqrt{\pi} \left(\cos{\left(x \right)} \operatorname{erf}{\left(x \right)} + \int \sin{\left(x \right)} \operatorname{erf}{\left(x \right)}\, dx\right)}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

π(cos⁡(x)erf⁡(x)+∫sin⁡(x)erf⁡(x) dx)2+constant\frac{\sqrt{\pi} \left(\cos{\left(x \right)} \operatorname{erf}{\left(x \right)} + \int \sin{\left(x \right)} \operatorname{erf}{\left(x \right)}\, dx\right)}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                 /                                       
  /                       ____  |                                        
 |                      \/ pi * | erf(x)*sin(x) dx                       
 |    2                         |                      ____              
 |  -x                         /                     \/ pi *cos(x)*erf(x)
 | e   *cos(x) dx = C + -------------------------- + --------------------
 |                                  2                         2          
/
∫e−x2cos⁡(x) dx=C+πcos⁡(x)erf⁡(x)2+π∫sin⁡(x)erf⁡(x) dx2\int e^{- x^{2}} \cos{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\sqrt{\pi} \cos{\left(x \right)} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sqrt{\pi} \int \sin{\left(x \right)} \operatorname{erf}{\left(x \right)}\, dx}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
  1               
  /               
 |                
 |            2   
 |          -x    
 |  cos(x)*e    dx
 |                
/                 
0
∫01e−x2cos⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} e^{- x^{2}} \cos{\left(x \right)}\, dx 
=
= 
  1               
  /               
 |                
 |            2   
 |          -x    
 |  cos(x)*e    dx
 |                
/                 
0
∫01e−x2cos⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} e^{- x^{2}} \cos{\left(x \right)}\, dx 
Integral(cos(x)*exp(-x^2), (x, 0, 1))
Respuesta numérica [src] 
0.656174362731507
0.656174362731507

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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