Integral de sqrt(1+(x^3/2-1/(2*x^3))^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt{\left(\frac{x^{3}}{2} - \frac{1}{2 x^{3}}\right)^{2} + 1} = \sqrt{\frac{x^{6}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{6}}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt{\frac{x^{6}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{6}}} = \frac{\sqrt{x^{6} + 2 + \frac{1}{x^{6}}}}{2}$

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{x^{6} + 2 + \frac{1}{x^{6}}}}{2}\, dx = \frac{\int \sqrt{x^{6} + 2 + \frac{1}{x^{6}}}\, dx}{2}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \sqrt{x^{6} + 2 + \frac{1}{x^{6}}}\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\int \sqrt{x^{6} + 2 + \frac{1}{x^{6}}}\, dx}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt{\left(\frac{x^{3}}{2} - \frac{1}{2 x^{3}}\right)^{2} + 1} = \sqrt{- \frac{1}{2 x^{3}} x^{3} + \frac{x^{6}}{4} + 1 + \frac{1}{4 x^{6}}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt{- \frac{1}{2 x^{3}} x^{3} + \frac{x^{6}}{4} + 1 + \frac{1}{4 x^{6}}} = \frac{\sqrt{x^{6} + 2 + \frac{1}{x^{6}}}}{2}$

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{x^{6} + 2 + \frac{1}{x^{6}}}}{2}\, dx = \frac{\int \sqrt{x^{6} + 2 + \frac{1}{x^{6}}}\, dx}{2}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \sqrt{x^{6} + 2 + \frac{1}{x^{6}}}\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\int \sqrt{x^{6} + 2 + \frac{1}{x^{6}}}\, dx}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\int \sqrt{x^{6} + 2 + \frac{1}{x^{6}}}\, dx}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\int \sqrt{x^{6} + 2 + \frac{1}{x^{6}}}\, dx}{2}+ \mathrm{constant}$