Integral de 1/(1-sqrt(3x+1)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{3 x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- \frac{2 u}{3 u - 3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{3 u - 3}\, du = - 2 \int \frac{u}{3 u - 3}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{3 u - 3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \left(u - 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{3 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{3}$

               1. que $u = u - 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u - 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{3}$

            El resultado es: $\frac{u}{3} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u}{3} - \frac{2 \log{\left(u - 1 \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{3 x + 1} - 1 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{1 - \sqrt{3 x + 1}} = - \frac{1}{\sqrt{3 x + 1} - 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{3 x + 1}$.

         Luego que $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2 u}{3 u - 3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{3 u - 3}\, du = 2 \int \frac{u}{3 u - 3}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u}{3 u - 3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \left(u - 1\right)}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{3 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{3}$

                  1. que $u = u - 1$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u - 1 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{3}$

               El resultado es: $\frac{u}{3} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u}{3} + \frac{2 \log{\left(u - 1 \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3} + \frac{2 \log{\left(\sqrt{3 x + 1} - 1 \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{3 x + 1} - 1 \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{3 x + 1} - 1 \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{3 x + 1} - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{3 x + 1} - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$