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Resolución de integrales/ (3x+1)/ 1/(1-sqrt(3x+1))

Integral de 1/(1-sqrt(3x+1)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |         1          
 |  --------------- dx
 |        _________   
 |  1 - \/ 3*x + 1    
 |                    
/                     
0
∫0111−3x+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{1 - \sqrt{3 x + 1}}\, dx 
Integral(1/(1 - sqrt(3*x + 1)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3x+1u = \sqrt{3 x + 1}.

      Luego que du=3dx23x+1du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}} y ponemos −2du- 2 du:

      ∫(−2u3u−3) du\int \left(- \frac{2 u}{3 u - 3}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u3u−3 du=−2∫u3u−3 du\int \frac{u}{3 u - 3}\, du = - 2 \int \frac{u}{3 u - 3}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u3u−3=13+13(u−1)\frac{u}{3 u - 3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \left(u - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫13 du=u3\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫13(u−1) du=∫1u−1 du3\int \frac{1}{3 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{3}

            1. que u=u−1u = u - 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u−1)3\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{3}

          El resultado es: u3+log⁡(u−1)3\frac{u}{3} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −2u3−2log⁡(u−1)3- \frac{2 u}{3} - \frac{2 \log{\left(u - 1 \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −23x+13−2log⁡(3x+1−1)3- \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{3 x + 1} - 1 \right)}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      11−3x+1=−13x+1−1\frac{1}{1 - \sqrt{3 x + 1}} = - \frac{1}{\sqrt{3 x + 1} - 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−13x+1−1) dx=−∫13x+1−1 dx\int \left(- \frac{1}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\, dx

      1. que u=3x+1u = \sqrt{3 x + 1}.

        Luego que du=3dx23x+1du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}} y ponemos 2du2 du:

        ∫2u3u−3 du\int \frac{2 u}{3 u - 3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u3u−3 du=2∫u3u−3 du\int \frac{u}{3 u - 3}\, du = 2 \int \frac{u}{3 u - 3}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u3u−3=13+13(u−1)\frac{u}{3 u - 3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \left(u - 1\right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫13 du=u3\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫13(u−1) du=∫1u−1 du3\int \frac{1}{3 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{3}

              1. que u=u−1u = u - 1.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u−1)3\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{3}

            El resultado es: u3+log⁡(u−1)3\frac{u}{3} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u3+2log⁡(u−1)3\frac{2 u}{3} + \frac{2 \log{\left(u - 1 \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        23x+13+2log⁡(3x+1−1)3\frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3} + \frac{2 \log{\left(\sqrt{3 x + 1} - 1 \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −23x+13−2log⁡(3x+1−1)3- \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{3 x + 1} - 1 \right)}}{3}

  2. Ahora simplificar:

    −23x+13−2log⁡(3x+1−1)3- \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{3 x + 1} - 1 \right)}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −23x+13−2log⁡(3x+1−1)3+constant- \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{3 x + 1} - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−23x+13−2log⁡(3x+1−1)3+constant- \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{3 x + 1} - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                
 |                              _________        /       _________\
 |        1                 2*\/ 3*x + 1    2*log\-1 + \/ 3*x + 1 /
 | --------------- dx = C - ------------- - -----------------------
 |       _________                3                    3           
 | 1 - \/ 3*x + 1                                                  
 |                                                                 
/
∫11−3x+1 dx=C−23x+13−2log⁡(3x+1−1)3\int \frac{1}{1 - \sqrt{3 x + 1}}\, dx = C - \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{3 x + 1} - 1 \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
1.05.01.52.02.53.03.54.04.50-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-29.7900517291088
-29.7900517291088

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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