Sr Examen

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Resolución de integrales/ x^2-x/ (x+1)/ (x^2-x)*dx/(x+1)

Integral de (x^2-x)*dx/(x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |   2       
 |  x  - x   
 |  ------ dx
 |  x + 1    
 |           
/            
0
∫01x2−xx+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} - x}{x + 1}\, dx 
Integral((x^2 - x)/(x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫u2+uu−1 du\int \frac{u^{2} + u}{u - 1}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u2+uu−1=u+2+2u−1\frac{u^{2} + u}{u - 1} = u + 2 + \frac{2}{u - 1}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫2 du=2u\int 2\, du = 2 u

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2u−1 du=2∫1u−1 du\int \frac{2}{u - 1}\, du = 2 \int \frac{1}{u - 1}\, du

          1. que u=u−1u = u - 1.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(u−1)2 \log{\left(u - 1 \right)}

        El resultado es: u22+2u+2log⁡(u−1)\frac{u^{2}}{2} + 2 u + 2 \log{\left(u - 1 \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x22−2x+2log⁡(−x−1)\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2 \log{\left(- x - 1 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−xx+1=x−2+2x+1\frac{x^{2} - x}{x + 1} = x - 2 + \frac{2}{x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−2) dx=−2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x+1 dx=2∫1x+1 dx\int \frac{2}{x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x+1)2 \log{\left(x + 1 \right)}

      El resultado es: x22−2x+2log⁡(x+1)\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2 \log{\left(x + 1 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−xx+1=x2x+1−xx+1\frac{x^{2} - x}{x + 1} = \frac{x^{2}}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2x+1=x−1+1x+1\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        El resultado es: x22−x+log⁡(x+1)\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xx+1) dx=−∫xx+1 dx\int \left(- \frac{x}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x + 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xx+1=1−1x+1\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

            1. que u=x+1u = x + 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

          El resultado es: x−log⁡(x+1)x - \log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −x+log⁡(x+1)- x + \log{\left(x + 1 \right)}

      El resultado es: x22−2x+2log⁡(x+1)\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2 \log{\left(x + 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x22−2x+2log⁡(−x−1)+constant\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2 \log{\left(- x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x22−2x+2log⁡(−x−1)+constant\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2 \log{\left(- x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                        
 |                                         
 |  2               2                      
 | x  - x          x                       
 | ------ dx = C + -- - 2*x + 2*log(-1 - x)
 | x + 1           2                       
 |                                         
/
∫x2−xx+1 dx=C+x22−2x+2log⁡(−x−1)\int \frac{x^{2} - x}{x + 1}\, dx = C + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2 \log{\left(- x - 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.2-0.2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-3/2 + 2*log(2)
−32+2log⁡(2)- \frac{3}{2} + 2 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
-3/2 + 2*log(2)
−32+2log⁡(2)- \frac{3}{2} + 2 \log{\left(2 \right)} 
-3/2 + 2*log(2)
Respuesta numérica [src] 
-0.113705638880109
-0.113705638880109

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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