Integral de (3x+x^3)/cbrtx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 u^{10} + 9 u^{4}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{10}\, du = 3 \int u^{10}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{11}}{11}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 9 u^{4}\, du = 9 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 u^{5}}{5}$

         El resultado es: $\frac{3 u^{11}}{11} + \frac{9 u^{5}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11} + \frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} + 3 x}{\sqrt[3]{x}} = x^{\frac{8}{3}} + 3 x^{\frac{2}{3}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{8}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{\frac{2}{3}}\, dx = 3 \int x^{\frac{2}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{2}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

      El resultado es: $\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11} + \frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} + 3 x}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{x}} + \frac{3 x}{\sqrt[3]{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $- 3 du$:

         $\int \left(- \frac{3}{u^{12}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{12}}\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{12}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{12}}\, du = - \frac{1}{11 u^{11}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{11 u^{11}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x}{\sqrt[3]{x}}\, dx = 3 \int \frac{x}{\sqrt[3]{x}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $- 3 du$:

            $\int \left(- \frac{3}{u^{6}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{5 u^{5}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

      El resultado es: $\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11} + \frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 x^{\frac{5}{3}} \left(5 x^{2} + 33\right)}{55}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{\frac{5}{3}} \left(5 x^{2} + 33\right)}{55}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{\frac{5}{3}} \left(5 x^{2} + 33\right)}{55}+ \mathrm{constant}$