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Resolución de integrales/ cos(5*x)/ acos(5*x)/sqrt(1-25*x^2)

Integral de acos(5*x)/sqrt(1-25*x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |    acos(5*x)      
 |  -------------- dx
 |     ___________   
 |    /         2    
 |  \/  1 - 25*x     
 |                   
/                    
0
∫01acos⁡(5x)1−25x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\operatorname{acos}{\left(5 x \right)}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}\, dx 
Integral(acos(5*x)/sqrt(1 - 25*x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=acos⁡(5x)u = \operatorname{acos}{\left(5 x \right)}.

      Luego que du=−5dx1−25x2du = - \frac{5 dx}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} y ponemos −du5- \frac{du}{5}:

      ∫(−u5) du\int \left(- \frac{u}{5}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u du=−∫u du5\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{5}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −u210- \frac{u^{2}}{10}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −acos⁡2(5x)10- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(5 x \right)}}{10}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=acos⁡(5x)u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(5 x \right)} y que dv⁡(x)=11−25x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}.

      Entonces du⁡(x)=−51−25x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫1251−u2 du\int \frac{1}{25 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫151−u2 du=∫11−u2 du5\int \frac{1}{5 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du}{5}

            ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

          Por lo tanto, el resultado es: asin⁡(u)5\frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        asin⁡(5x)5\frac{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−asin⁡(5x)u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(5 x \right)} y que dv⁡(x)=11−25x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}.

      Entonces du⁡(x)=−51−25x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫1251−u2 du\int \frac{1}{25 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫151−u2 du=∫11−u2 du5\int \frac{1}{5 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du}{5}

            ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

          Por lo tanto, el resultado es: asin⁡(u)5\frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        asin⁡(5x)5\frac{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−asin⁡(5x)u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(5 x \right)} y que dv⁡(x)=11−25x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}.

      Entonces du⁡(x)=−51−25x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫1251−u2 du\int \frac{1}{25 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫151−u2 du=∫11−u2 du5\int \frac{1}{5 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du}{5}

            ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

          Por lo tanto, el resultado es: asin⁡(u)5\frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        asin⁡(5x)5\frac{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    4. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−asin⁡(5x)u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(5 x \right)} y que dv⁡(x)=11−25x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}.

      Entonces du⁡(x)=−51−25x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫1251−u2 du\int \frac{1}{25 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫151−u2 du=∫11−u2 du5\int \frac{1}{5 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du}{5}

            ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

          Por lo tanto, el resultado es: asin⁡(u)5\frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        asin⁡(5x)5\frac{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    5. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−asin⁡(5x)u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(5 x \right)} y que dv⁡(x)=11−25x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}.

      Entonces du⁡(x)=−51−25x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫1251−u2 du\int \frac{1}{25 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫151−u2 du=∫11−u2 du5\int \frac{1}{5 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du}{5}

            ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

          Por lo tanto, el resultado es: asin⁡(u)5\frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        asin⁡(5x)5\frac{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−asin⁡(5x)1−25x2) dx=−∫asin⁡(5x)1−25x2 dx\int \left(- \frac{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}\, dx

      1. que u=asin⁡(5x)u = \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}.

        Luego que du=5dx1−25x2du = \frac{5 dx}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫u5 du\int \frac{u}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=∫u du5\int u\, du = \frac{\int u\, du}{5}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u210\frac{u^{2}}{10}

        Si ahora sustituir uu más en:

        asin⁡2(5x)10\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)}}{10}

      Por lo tanto, el resultado es: −asin⁡2(5x)10- \frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)}}{10}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −acos⁡2(5x)10+constant- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(5 x \right)}}{10}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−acos⁡2(5x)10+constant- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(5 x \right)}}{10}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                  
 |                             2     
 |   acos(5*x)             acos (5*x)
 | -------------- dx = C - ----------
 |    ___________              10    
 |   /         2                     
 | \/  1 - 25*x                      
 |                                   
/
∫acos⁡(5x)1−25x2 dx=C−acos⁡2(5x)10\int \frac{\operatorname{acos}{\left(5 x \right)}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}\, dx = C - \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(5 x \right)}}{10}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      2        2
  acos (5)   pi 
- -------- + ---
     10       40
π240−acos⁡2(5)10\frac{\pi^{2}}{40} - \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(5 \right)}}{10} 
=
= 
      2        2
  acos (5)   pi 
- -------- + ---
     10       40
π240−acos⁡2(5)10\frac{\pi^{2}}{40} - \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(5 \right)}}{10} 
-acos(5)^2/10 + pi^2/40
Respuesta numérica [src] 
(0.772264405987939 + 0.0j)
(0.772264405987939 + 0.0j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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