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Resolución de integrales/ (1/x)/ x*ln(1/x)

Integral de x*ln(1/x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |       /1\   
 |  x*log|-| dx
 |       \x/   
 |             
/              
0
∫01xlog⁡(1x) dx\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(\frac{1}{x} \right)}\, dx 
Integral(x*log(1/x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(1x)u = \log{\left(\frac{1}{x} \right)}.

      Luego que du=−dxxdu = - \frac{dx}{x} y ponemos −du- du:

      ∫(−ue−2u) du\int \left(- u e^{- 2 u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫ue−2u du=−∫ue−2u du\int u e^{- 2 u}\, du = - \int u e^{- 2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e−2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 2 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=−2uu = - 2 u.

            Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

            ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−e−2u2) du=−∫e−2u du2\int \left(- \frac{e^{- 2 u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{- 2 u}\, du}{2}

          1. que u=−2uu = - 2 u.

            Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

            ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e−2u4\frac{e^{- 2 u}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: ue−2u2+e−2u4\frac{u e^{- 2 u}}{2} + \frac{e^{- 2 u}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x2log⁡(1x)2+x24\frac{x^{2} \log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(1x)u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{1}{x} \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

      Entonces du⁡(x)=−1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x2) dx=−∫x dx2\int \left(- \frac{x}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −x24- \frac{x^{2}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    x2(2log⁡(1x)+1)4\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(2log⁡(1x)+1)4+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(2log⁡(1x)+1)4+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                        2    /1\
 |                    2   x *log|-|
 |      /1\          x          \x/
 | x*log|-| dx = C + -- + ---------
 |      \x/          4        2    
 |                                 
/
∫xlog⁡(1x) dx=C+x2log⁡(1x)2+x24\int x \log{\left(\frac{1}{x} \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1/4
14\frac{1}{4} 
=
= 
1/4
14\frac{1}{4} 
1/4
Respuesta numérica [src] 
0.25
0.25

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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