Integral de x*ln(1/x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(\frac{1}{x} \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u e^{- 2 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u e^{- 2 u}\, du = - \int u e^{- 2 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 2 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = - 2 u$.

               Luego que $du = - 2 du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 2 u}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{e^{- 2 u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{- 2 u}\, du}{2}$

            1. que $u = - 2 u$.

               Luego que $du = - 2 du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 2 u}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 2 u}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u e^{- 2 u}}{2} + \frac{e^{- 2 u}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{2} \log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{1}{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}$