Integral de (x-4)sqr(5-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{3} - u^{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         El resultado es: $\frac{u^{4}}{4} - \frac{u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(5 - x\right)^{4}}{4} - \frac{\left(5 - x\right)^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(5 - x\right)^{2} \left(x - 4\right) = x^{3} - 14 x^{2} + 65 x - 100$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 14 x^{2}\right)\, dx = - 14 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{14 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 65 x\, dx = 65 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{65 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-100\right)\, dx = - 100 x$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - \frac{14 x^{3}}{3} + \frac{65 x^{2}}{2} - 100 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x - 5\right)^{3} \left(3 x - 11\right)}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x - 5\right)^{3} \left(3 x - 11\right)}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 5\right)^{3} \left(3 x - 11\right)}{12}+ \mathrm{constant}$