Sr Examen

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Integral de ln(t^2+1) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 2*atan(x)              
     /                  
    |                   
    |        / 2    \   
    |     log\t  + 1/ dt
    |                   
   /                    
2*asin(x)               
$$\int\limits_{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}^{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}} \log{\left(t^{2} + 1 \right)}\, dt$$
Integral(log(t^2 + 1), (t, 2*asin(x), 2*atan(x)))
Solución detallada
  1. Usamos la integración por partes:

    que y que .

    Entonces .

    Para buscar :

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    1. Vuelva a escribir el integrando:

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(t**2 + 1), symbol=t), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(t**2 + 1), symbol=t), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(t**2 + 1), symbol=t), False)], context=1/(t**2 + 1), symbol=t)

        Por lo tanto, el resultado es:

      El resultado es:

    Por lo tanto, el resultado es:

  3. Ahora simplificar:

  4. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                    
 |                                                     
 |    / 2    \                                 / 2    \
 | log\t  + 1/ dt = C - 2*t + 2*atan(t) + t*log\t  + 1/
 |                                                     
/                                                      
$$\int \log{\left(t^{2} + 1 \right)}\, dt = C + t \log{\left(t^{2} + 1 \right)} - 2 t + 2 \operatorname{atan}{\left(t \right)}$$
Respuesta [src]
                                                                              /          2   \                /          2   \
-4*atan(x) - 2*atan(2*asin(x)) + 2*atan(2*atan(x)) + 4*asin(x) - 2*asin(x)*log\1 + 4*asin (x)/ + 2*atan(x)*log\1 + 4*atan (x)/
$$- 2 \log{\left(4 \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)} + 2 \log{\left(4 \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 4 \operatorname{asin}{\left(x \right)} - 4 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)}$$
=
=
                                                                              /          2   \                /          2   \
-4*atan(x) - 2*atan(2*asin(x)) + 2*atan(2*atan(x)) + 4*asin(x) - 2*asin(x)*log\1 + 4*asin (x)/ + 2*atan(x)*log\1 + 4*atan (x)/
$$- 2 \log{\left(4 \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)} + 2 \log{\left(4 \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 4 \operatorname{asin}{\left(x \right)} - 4 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)}$$
-4*atan(x) - 2*atan(2*asin(x)) + 2*atan(2*atan(x)) + 4*asin(x) - 2*asin(x)*log(1 + 4*asin(x)^2) + 2*atan(x)*log(1 + 4*atan(x)^2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.