Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ t^2+1/ ln(t^2+1)

Integral de ln(t^2+1) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*atan(x)              
     /                  
    |                   
    |        / 2    \   
    |     log\t  + 1/ dt
    |                   
   /                    
2*asin(x)
∫2asin⁡(x)2atan⁡(x)log⁡(t2+1) dt\int\limits_{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}^{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}} \log{\left(t^{2} + 1 \right)}\, dt 
Integral(log(t^2 + 1), (t, 2*asin(x), 2*atan(x)))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(t)=log⁡(t2+1)u{\left(t \right)} = \log{\left(t^{2} + 1 \right)} y que dv⁡(t)=1\operatorname{dv}{\left(t \right)} = 1.

    Entonces du⁡(t)=2tt2+1\operatorname{du}{\left(t \right)} = \frac{2 t}{t^{2} + 1}.

    Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dt=t\int 1\, dt = t

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫2t2t2+1 dt=2∫t2t2+1 dt\int \frac{2 t^{2}}{t^{2} + 1}\, dt = 2 \int \frac{t^{2}}{t^{2} + 1}\, dt

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      t2t2+1=1−1t2+1\frac{t^{2}}{t^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{t^{2} + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dt=t\int 1\, dt = t

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1t2+1) dt=−∫1t2+1 dt\int \left(- \frac{1}{t^{2} + 1}\right)\, dt = - \int \frac{1}{t^{2} + 1}\, dt

          PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(t**2 + 1), symbol=t), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(t**2 + 1), symbol=t), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(t**2 + 1), symbol=t), False)], context=1/(t**2 + 1), symbol=t)

        Por lo tanto, el resultado es: −atan⁡(t)- \operatorname{atan}{\left(t \right)}

      El resultado es: t−atan⁡(t)t - \operatorname{atan}{\left(t \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: 2t−2atan⁡(t)2 t - 2 \operatorname{atan}{\left(t \right)}

  3. Ahora simplificar:

    tlog⁡(t2+1)−2t+2atan⁡(t)t \log{\left(t^{2} + 1 \right)} - 2 t + 2 \operatorname{atan}{\left(t \right)}

  4. Añadimos la constante de integración:

    tlog⁡(t2+1)−2t+2atan⁡(t)+constantt \log{\left(t^{2} + 1 \right)} - 2 t + 2 \operatorname{atan}{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

tlog⁡(t2+1)−2t+2atan⁡(t)+constantt \log{\left(t^{2} + 1 \right)} - 2 t + 2 \operatorname{atan}{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
 |                                                     
 |    / 2    \                                 / 2    \
 | log\t  + 1/ dt = C - 2*t + 2*atan(t) + t*log\t  + 1/
 |                                                     
/
∫log⁡(t2+1) dt=C+tlog⁡(t2+1)−2t+2atan⁡(t)\int \log{\left(t^{2} + 1 \right)}\, dt = C + t \log{\left(t^{2} + 1 \right)} - 2 t + 2 \operatorname{atan}{\left(t \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
                                                                              /          2   \                /          2   \
-4*atan(x) - 2*atan(2*asin(x)) + 2*atan(2*atan(x)) + 4*asin(x) - 2*asin(x)*log\1 + 4*asin (x)/ + 2*atan(x)*log\1 + 4*atan (x)/
−2log⁡(4asin⁡2(x)+1)asin⁡(x)+2log⁡(4atan⁡2(x)+1)atan⁡(x)+4asin⁡(x)−4atan⁡(x)−2atan⁡(2asin⁡(x))+2atan⁡(2atan⁡(x))- 2 \log{\left(4 \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)} + 2 \log{\left(4 \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 4 \operatorname{asin}{\left(x \right)} - 4 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)} 
=
= 
                                                                              /          2   \                /          2   \
-4*atan(x) - 2*atan(2*asin(x)) + 2*atan(2*atan(x)) + 4*asin(x) - 2*asin(x)*log\1 + 4*asin (x)/ + 2*atan(x)*log\1 + 4*atan (x)/
−2log⁡(4asin⁡2(x)+1)asin⁡(x)+2log⁡(4atan⁡2(x)+1)atan⁡(x)+4asin⁡(x)−4atan⁡(x)−2atan⁡(2asin⁡(x))+2atan⁡(2atan⁡(x))- 2 \log{\left(4 \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)} + 2 \log{\left(4 \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 4 \operatorname{asin}{\left(x \right)} - 4 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)} 
-4*atan(x) - 2*atan(2*asin(x)) + 2*atan(2*atan(x)) + 4*asin(x) - 2*asin(x)*log(1 + 4*asin(x)^2) + 2*atan(x)*log(1 + 4*atan(x)^2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen – Калькулятор