Sr Examen

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Integral de (x+5)/sqrt(3-6*x-x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  0                   
  /                   
 |                    
 |       x + 5        
 |  --------------- dx
 |    _____________   
 |  \/ 3 - 6*x - x    
 |                    
/                     
-2                    
20x+5x+(36x)dx\int\limits_{-2}^{0} \frac{x + 5}{\sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}\, dx
Integral((x + 5)/sqrt(3 - 6*x - x), (x, -2, 0))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x+(36x)u = \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}.

      Luego que du=7dx2x+(36x)du = - \frac{7 dx}{2 \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}} y ponemos dudu:

      (2u2497649)du\int \left(\frac{2 u^{2}}{49} - \frac{76}{49}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          2u249du=2u2du49\int \frac{2 u^{2}}{49}\, du = \frac{2 \int u^{2}\, du}{49}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u3147\frac{2 u^{3}}{147}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          (7649)du=76u49\int \left(- \frac{76}{49}\right)\, du = - \frac{76 u}{49}

        El resultado es: 2u314776u49\frac{2 u^{3}}{147} - \frac{76 u}{49}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2(x+(36x))3214776x+(36x)49\frac{2 \left(- x + \left(3 - 6 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}{147} - \frac{76 \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}{49}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x+5x+(36x)=xx+(36x)+5x+(36x)\frac{x + 5}{\sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}} = \frac{x}{\sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}} + \frac{5}{\sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=1x+(36x)u = \frac{1}{\sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}.

        Luego que du=7dx2(x+(36x))32du = \frac{7 dx}{2 \left(- x + \left(3 - 6 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}} y ponemos dudu:

        (2(3717u2)2+1849649u2)du\int \left(- 2 \left(\frac{3}{7} - \frac{1}{7 u^{2}}\right)^{2} + \frac{18}{49} - \frac{6}{49 u^{2}}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (2(3717u2)2)du=2(3717u2)2du\int \left(- 2 \left(\frac{3}{7} - \frac{1}{7 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(\frac{3}{7} - \frac{1}{7 u^{2}}\right)^{2}\, du

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (3717u2)2=949649u2+149u4\left(\frac{3}{7} - \frac{1}{7 u^{2}}\right)^{2} = \frac{9}{49} - \frac{6}{49 u^{2}} + \frac{1}{49 u^{4}}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  949du=9u49\int \frac{9}{49}\, du = \frac{9 u}{49}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  (649u2)du=61u2du49\int \left(- \frac{6}{49 u^{2}}\right)\, du = - \frac{6 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{49}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                    1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: 649u\frac{6}{49 u}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  149u4du=1u4du49\int \frac{1}{49 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{49}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                    1u4du=13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                  Por lo tanto, el resultado es: 1147u3- \frac{1}{147 u^{3}}

                El resultado es: 9u49+649u1147u3\frac{9 u}{49} + \frac{6}{49 u} - \frac{1}{147 u^{3}}

              Método #2

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (3717u2)2=9u46u2+149u4\left(\frac{3}{7} - \frac{1}{7 u^{2}}\right)^{2} = \frac{9 u^{4} - 6 u^{2} + 1}{49 u^{4}}

              2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                9u46u2+149u4du=9u46u2+1u4du49\int \frac{9 u^{4} - 6 u^{2} + 1}{49 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{9 u^{4} - 6 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{49}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  9u46u2+1u4=96u2+1u4\frac{9 u^{4} - 6 u^{2} + 1}{u^{4}} = 9 - \frac{6}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    9du=9u\int 9\, du = 9 u

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    (6u2)du=61u2du\int \left(- \frac{6}{u^{2}}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                      1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                    Por lo tanto, el resultado es: 6u\frac{6}{u}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                    1u4du=13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                  El resultado es: 9u+6u13u39 u + \frac{6}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

                Por lo tanto, el resultado es: 9u49+649u1147u3\frac{9 u}{49} + \frac{6}{49 u} - \frac{1}{147 u^{3}}

            Por lo tanto, el resultado es: 18u491249u+2147u3- \frac{18 u}{49} - \frac{12}{49 u} + \frac{2}{147 u^{3}}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            1849du=18u49\int \frac{18}{49}\, du = \frac{18 u}{49}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (649u2)du=61u2du49\int \left(- \frac{6}{49 u^{2}}\right)\, du = - \frac{6 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{49}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 649u\frac{6}{49 u}

          El resultado es: 649u+2147u3- \frac{6}{49 u} + \frac{2}{147 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2(x+(36x))321476x+(36x)49\frac{2 \left(- x + \left(3 - 6 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}{147} - \frac{6 \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}{49}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        5x+(36x)dx=51x+(36x)dx\int \frac{5}{\sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}\, dx = 5 \int \frac{1}{\sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}\, dx

        1. que u=x+(36x)u = - x + \left(3 - 6 x\right).

          Luego que du=7dxdu = - 7 dx y ponemos du7- \frac{du}{7}:

          (17u)du\int \left(- \frac{1}{7 \sqrt{u}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1udu=1udu7\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{7}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u7- \frac{2 \sqrt{u}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2x+(36x)7- \frac{2 \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: 10x+(36x)7- \frac{10 \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}{7}

      El resultado es: 2(x+(36x))3214776x+(36x)49\frac{2 \left(- x + \left(3 - 6 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}{147} - \frac{76 \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}{49}

  2. Ahora simplificar:

    237x(7x+111)147- \frac{2 \sqrt{3 - 7 x} \left(7 x + 111\right)}{147}

  3. Añadimos la constante de integración:

    237x(7x+111)147+constant- \frac{2 \sqrt{3 - 7 x} \left(7 x + 111\right)}{147}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

237x(7x+111)147+constant- \frac{2 \sqrt{3 - 7 x} \left(7 x + 111\right)}{147}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                
 |                               _____________                  3/2
 |      x + 5               76*\/ 3 - 6*x - x    2*(3 - 6*x - x)   
 | --------------- dx = C - ------------------ + ------------------
 |   _____________                  49                  147        
 | \/ 3 - 6*x - x                                                  
 |                                                                 
/                                                                  
x+5x+(36x)dx=C+2(x+(36x))3214776x+(36x)49\int \frac{x + 5}{\sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}\, dx = C + \frac{2 \left(- x + \left(3 - 6 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}{147} - \frac{76 \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}{49}
Gráfica
-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.0-1010
Respuesta [src]
       ___         ____
  74*\/ 3    194*\/ 17 
- -------- + ----------
     49         147    
74349+19417147- \frac{74 \sqrt{3}}{49} + \frac{194 \sqrt{17}}{147}
=
=
       ___         ____
  74*\/ 3    194*\/ 17 
- -------- + ----------
     49         147    
74349+19417147- \frac{74 \sqrt{3}}{49} + \frac{194 \sqrt{17}}{147}
-74*sqrt(3)/49 + 194*sqrt(17)/147
Respuesta numérica [src]
2.82562729312609
2.82562729312609

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.