Integral de (x+5)/sqrt(3-6*x-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}$.

      Luego que $du = - \frac{7 dx}{2 \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{2 u^{2}}{49} - \frac{76}{49}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 u^{2}}{49}\, du = \frac{2 \int u^{2}\, du}{49}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{147}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(- \frac{76}{49}\right)\, du = - \frac{76 u}{49}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{147} - \frac{76 u}{49}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(- x + \left(3 - 6 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}{147} - \frac{76 \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}{49}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 5}{\sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}} = \frac{x}{\sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}} + \frac{5}{\sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}$.

         Luego que $du = \frac{7 dx}{2 \left(- x + \left(3 - 6 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 2 \left(\frac{3}{7} - \frac{1}{7 u^{2}}\right)^{2} + \frac{18}{49} - \frac{6}{49 u^{2}}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 \left(\frac{3}{7} - \frac{1}{7 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(\frac{3}{7} - \frac{1}{7 u^{2}}\right)^{2}\, du$

               1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(\frac{3}{7} - \frac{1}{7 u^{2}}\right)^{2} = \frac{9}{49} - \frac{6}{49 u^{2}} + \frac{1}{49 u^{4}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{9}{49}\, du = \frac{9 u}{49}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{6}{49 u^{2}}\right)\, du = - \frac{6 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{49}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{49 u}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{49 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{49}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{147 u^{3}}$

                     El resultado es: $\frac{9 u}{49} + \frac{6}{49 u} - \frac{1}{147 u^{3}}$

                  Método #2

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(\frac{3}{7} - \frac{1}{7 u^{2}}\right)^{2} = \frac{9 u^{4} - 6 u^{2} + 1}{49 u^{4}}$

                  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{9 u^{4} - 6 u^{2} + 1}{49 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{9 u^{4} - 6 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{49}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\frac{9 u^{4} - 6 u^{2} + 1}{u^{4}} = 9 - \frac{6}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 9\, du = 9 u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{6}{u^{2}}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{u}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        El resultado es: $9 u + \frac{6}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 u}{49} + \frac{6}{49 u} - \frac{1}{147 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{18 u}{49} - \frac{12}{49 u} + \frac{2}{147 u^{3}}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{18}{49}\, du = \frac{18 u}{49}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{6}{49 u^{2}}\right)\, du = - \frac{6 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{49}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{49 u}$

            El resultado es: $- \frac{6}{49 u} + \frac{2}{147 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \left(- x + \left(3 - 6 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}{147} - \frac{6 \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}{49}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{\sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}\, dx = 5 \int \frac{1}{\sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}\, dx$

         1. que $u = - x + \left(3 - 6 x\right)$.

            Luego que $du = - 7 dx$ y ponemos $- \frac{du}{7}$:

            $\int \left(- \frac{1}{7 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{7}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sqrt{u}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10 \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}{7}$

      El resultado es: $\frac{2 \left(- x + \left(3 - 6 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}{147} - \frac{76 \sqrt{- x + \left(3 - 6 x\right)}}{49}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{2 \sqrt{3 - 7 x} \left(7 x + 111\right)}{147}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \sqrt{3 - 7 x} \left(7 x + 111\right)}{147}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \sqrt{3 - 7 x} \left(7 x + 111\right)}{147}+ \mathrm{constant}$