Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función/ -pi/2/ cos(x)/ cos(x)^2/(x-pi/2)^2

Límite de la función cos(x)^2/(x-pi/2)^2

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      /    2    \
      | cos (x) |
 lim  |---------|
   pi |        2|
x->--+|/    pi\ |
   2  ||x - --| |
      \\    2 / /
lim⁡x→π2+(cos⁡2(x)(x−π2)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) 
Limit(cos(x)^2/(x - pi/2)^2, x, pi/2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→π2+(4cos⁡2(x))=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(4 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→π2+(2x−π)2=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \left(2 x - \pi\right)^{2} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→π2+(cos⁡2(x)(x−π2)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→π2+(4cos⁡2(x)(2x−π)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(2 x - \pi\right)^{2}}\right)
=
lim⁡x→π2+(ddx4cos⁡2(x)ddx(2x−π)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(2 x - \pi\right)^{2}}\right)
=
lim⁡x→π2+(−8sin⁡(x)cos⁡(x)8x−4π)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{8 x - 4 \pi}\right)
=
lim⁡x→π2+(−8cos⁡(x)8x−4π)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{8 \cos{\left(x \right)}}{8 x - 4 \pi}\right)
=
lim⁡x→π2+(ddx(−8cos⁡(x))ddx(8x−4π))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 8 \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(8 x - 4 \pi\right)}\right)
=
lim⁡x→π2+sin⁡(x)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \sin{\left(x \right)}
=
lim⁡x→π2+1\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} 1
=
lim⁡x→π2+1\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} 1
=
11
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.002
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→π2−(cos⁡2(x)(x−π2)2)=1\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = 1
Más detalles con x→pi/2 a la izquierda
lim⁡x→π2+(cos⁡2(x)(x−π2)2)=1\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = 1
lim⁡x→∞(cos⁡2(x)(x−π2)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(cos⁡2(x)(x−π2)2)=4π2\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = \frac{4}{\pi^{2}}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(cos⁡2(x)(x−π2)2)=4π2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = \frac{4}{\pi^{2}}
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(cos⁡2(x)(x−π2)2)=4cos⁡2(1)−4π+4+π2\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = \frac{4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{- 4 \pi + 4 + \pi^{2}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(cos⁡2(x)(x−π2)2)=4cos⁡2(1)−4π+4+π2\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = \frac{4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{- 4 \pi + 4 + \pi^{2}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(cos⁡2(x)(x−π2)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src] 
      /    2    \
      | cos (x) |
 lim  |---------|
   pi |        2|
x->--+|/    pi\ |
   2  ||x - --| |
      \\    2 / /
lim⁡x→π2+(cos⁡2(x)(x−π2)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) 
1
11 
= 1
      /    2    \
      | cos (x) |
 lim  |---------|
   pi |        2|
x->---|/    pi\ |
   2  ||x - --| |
      \\    2 / /
lim⁡x→π2−(cos⁡2(x)(x−π2)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) 
1
11 
= 1
= 1
Respuesta rápida [src] 
1
11
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0
    © Sr Examen – Калькулятор