Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{6 x^{2} + 1} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2} x}{2}\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{12 x^{2} + 2}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{6 x^{2} + 1}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{6 x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} \frac{\sqrt{2} x}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 \sqrt{2} x}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 \sqrt{2} x}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$- 2 \sqrt{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)