Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/(-1+(1+x)^(1/3))
-
Límite de (4+5*x+6*x^2)/(-2+3*x^2+7*x)
-
Límite de ((1+5*x)/(-2+5*x))^(-8+3*x)
-
Límite de (5-4/cos(x))^(sin(3*x)^(-2))
-
Expresiones idénticas
- x/(- uno +x*(- tres +sqrt(ocho +x))/(- uno +x^(uno / tres)))
- x dividir por ( menos 1 más x multiplicar por ( menos 3 más raíz cuadrada de (8 más x)) dividir por ( menos 1 más x en el grado (1 dividir por 3)))
- x dividir por ( menos uno más x multiplicar por ( menos tres más raíz cuadrada de (ocho más x)) dividir por ( menos uno más x en el grado (uno dividir por tres)))
- x/(-1+x*(-3+√(8+x))/(-1+x^(1/3)))
- x/(-1+x*(-3+sqrt(8+x))/(-1+x(1/3)))
- x/-1+x*-3+sqrt8+x/-1+x1/3
- x/(-1+x(-3+sqrt(8+x))/(-1+x^(1/3)))
- x/(-1+x(-3+sqrt(8+x))/(-1+x(1/3)))
- x/-1+x-3+sqrt8+x/-1+x1/3
- x/-1+x-3+sqrt8+x/-1+x^1/3
- x dividir por (-1+x*(-3+sqrt(8+x)) dividir por (-1+x^(1 dividir por 3)))
-
Expresiones semejantes
- x/(-1+x*(-3+sqrt(8-x))/(-1+x^(1/3)))
- x/(1+x*(-3+sqrt(8+x))/(-1+x^(1/3)))
- x/(-1-x*(-3+sqrt(8+x))/(-1+x^(1/3)))
- x/(-1+x*(3+sqrt(8+x))/(-1+x^(1/3)))
- x/(-1+x*(-3+sqrt(8+x))/(1+x^(1/3)))
- x/(-1+x*(-3+sqrt(8+x))/(-1-x^(1/3)))
- x/(-1+x*(-3-sqrt(8+x))/(-1+x^(1/3)))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(n^2+5*n*p)-sqrt(n^2+3*n*p)
- sqrt(a+b^4)
- sqrt(6+x^2+5*x)-sqrt(-5+x^2-6*x)
- sqrt(-1+x^2+3*x)-sqrt(2+3*x^2)
- sqrt(1+x^2)*atan(sqrt(1+x^3))/x
Límite de la función x/(-1+x*(-3+sqrt(8+x))/(-1+x^(1/3)))
Solución
Ha introducido
[src]
/ x \
lim |-----------------------|
x->oo| / _______\|
| x*\-3 + \/ 8 + x /|
|-1 + ------------------|
| 3 ___ |
\ -1 + \/ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\frac{x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\sqrt[3]{x} - 1} - 1}\right)$$
Limit(x/(-1 + (x*(-3 + sqrt(8 + x)))/(-1 + x^(1/3))), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sqrt[3]{x} - 1\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt[3]{x} + x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right) + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\frac{x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\sqrt[3]{x} - 1} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(\sqrt[3]{x} - 1\right)}{- \sqrt[3]{x} + x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right) + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(\sqrt[3]{x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt[3]{x} + x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right) + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - 1}{\frac{x}{2 \sqrt{x + 8}} + \sqrt{x + 8} - 3 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2 \sqrt{x + 8}} + \sqrt{x + 8} - 3 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}} \left(- \frac{x}{4 \left(x \sqrt{x + 8} + 8 \sqrt{x + 8}\right)} + \frac{1}{\sqrt{x + 8}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}} \left(- \frac{x}{4 \left(x \sqrt{x + 8} + 8 \sqrt{x + 8}\right)} + \frac{1}{\sqrt{x + 8}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sqrt[3]{x} - 1\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt[3]{x} + x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right) + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\frac{x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\sqrt[3]{x} - 1} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(\sqrt[3]{x} - 1\right)}{- \sqrt[3]{x} + x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right) + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(\sqrt[3]{x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt[3]{x} + x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right) + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - 1}{\frac{x}{2 \sqrt{x + 8}} + \sqrt{x + 8} - 3 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2 \sqrt{x + 8}} + \sqrt{x + 8} - 3 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}} \left(- \frac{x}{4 \left(x \sqrt{x + 8} + 8 \sqrt{x + 8}\right)} + \frac{1}{\sqrt{x + 8}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}} \left(- \frac{x}{4 \left(x \sqrt{x + 8} + 8 \sqrt{x + 8}\right)} + \frac{1}{\sqrt{x + 8}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\frac{x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\sqrt[3]{x} - 1} - 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\frac{x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\sqrt[3]{x} - 1} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\frac{x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\sqrt[3]{x} - 1} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\frac{x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\sqrt[3]{x} - 1} - 1}\right) = -2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\frac{x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\sqrt[3]{x} - 1} - 1}\right) = -2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\frac{x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\sqrt[3]{x} - 1} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\frac{x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\sqrt[3]{x} - 1} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\frac{x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\sqrt[3]{x} - 1} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\frac{x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\sqrt[3]{x} - 1} - 1}\right) = -2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\frac{x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\sqrt[3]{x} - 1} - 1}\right) = -2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\frac{x \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\sqrt[3]{x} - 1} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo