Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(x + 1 \right)}^{6} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{\log{\left(x + 1 \right)}^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x\right)}{\frac{d}{d x} \log{\left(x + 1 \right)}^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(3 x^{2} + 12 x + 12\right)}{6 \log{\left(x + 1 \right)}^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x^{2} + 12 x + 12}{6 \log{\left(x + 1 \right)}^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 12 x + 12\right)}{\frac{d}{d x} 6 \log{\left(x + 1 \right)}^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(6 x + 12\right)}{30 \log{\left(x + 1 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x}{5} + \frac{2}{5}}{\log{\left(x + 1 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x}{5} + \frac{2}{5}}{\log{\left(x + 1 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)