Tomamos como el límite $$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{6 x - 3} - \sqrt{6 x + 2}\right)$$ Eliminamos la indeterminación oo - oo Multiplicamos y dividimos por $$\sqrt{6 x - 3} + \sqrt{6 x + 2}$$ entonces $$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{6 x - 3} - \sqrt{6 x + 2}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{6 x - 3} - \sqrt{6 x + 2}\right) \left(\sqrt{6 x - 3} + \sqrt{6 x + 2}\right)}{\sqrt{6 x - 3} + \sqrt{6 x + 2}}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{6 x - 3}\right)^{2} - \left(\sqrt{6 x + 2}\right)^{2}}{\sqrt{6 x - 3} + \sqrt{6 x + 2}}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 6 x - 2\right) + \left(6 x - 3\right)}{\sqrt{6 x - 3} + \sqrt{6 x + 2}}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5}{\sqrt{6 x - 3} + \sqrt{6 x + 2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x): $$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5}{\sqrt{x} \left(\frac{\sqrt{6 x - 3}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{6 x + 2}}{\sqrt{x}}\right)}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5}{\sqrt{x} \left(\sqrt{\frac{6 x - 3}{x}} + \sqrt{\frac{6 x + 2}{x}}\right)}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5}{\sqrt{x} \left(\sqrt{6 - \frac{3}{x}} + \sqrt{6 + \frac{2}{x}}\right)}\right)$$ Sustituimos $$u = \frac{1}{x}$$ entonces $$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5}{\sqrt{x} \left(\sqrt{6 - \frac{3}{x}} + \sqrt{6 + \frac{2}{x}}\right)}\right)$$ = $$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{5}{\left(\sqrt{6 - 3 u} + \sqrt{2 u + 6}\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ = = $$- \frac{5}{\tilde{\infty} \left(\sqrt{6 - 0} + \sqrt{0 \cdot 2 + 6}\right)} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es: $$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{6 x - 3} - \sqrt{6 x + 2}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{6 x - 3} - \sqrt{6 x + 2}\right) = 0$$ $$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{6 x - 3} - \sqrt{6 x + 2}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3} i$$ Más detalles con x→0 a la izquierda $$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{6 x - 3} - \sqrt{6 x + 2}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3} i$$ Más detalles con x→0 a la derecha $$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{6 x - 3} - \sqrt{6 x + 2}\right) = - 2 \sqrt{2} + \sqrt{3}$$ Más detalles con x→1 a la izquierda $$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{6 x - 3} - \sqrt{6 x + 2}\right) = - 2 \sqrt{2} + \sqrt{3}$$ Más detalles con x→1 a la derecha $$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{6 x - 3} - \sqrt{6 x + 2}\right) = 0$$ Más detalles con x→-oo