Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (-2+sqrt(-3+x))/(-3+sqrt(2+x))
-
Límite de (sqrt(10+x)-sqrt(4-x))/(-21-x+2*x^2)
-
Límite de (-1+4*x+5*x^2)/(-2+x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +x+x^ dos)-sqrt(x+x^ dos)
- raíz cuadrada de (1 más x más x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (x más x al cuadrado )
- raíz cuadrada de (uno más x más x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (x más x en el grado dos)
- √(1+x+x^2)-√(x+x^2)
- sqrt(1+x+x2)-sqrt(x+x2)
- sqrt1+x+x2-sqrtx+x2
- sqrt(1+x+x²)-sqrt(x+x²)
- sqrt(1+x+x en el grado 2)-sqrt(x+x en el grado 2)
- sqrt1+x+x^2-sqrtx+x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1-x+x^2)-sqrt(x+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(x-x^2)
- sqrt(1+x+x^2)+sqrt(x+x^2)
- sqrt(1+x-x^2)-sqrt(x+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
- sqrt(1+(1+n)^2)*(1+n)/(n*sqrt(1+n^2))
- sqrt(x)/sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))
- sqrt(-4+x)
- sqrt(2+x)/x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
- sqrt(1+(1+n)^2)*(1+n)/(n*sqrt(1+n^2))
- sqrt(x)/sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))
- sqrt(-4+x)
- sqrt(2+x)/x
Límite de la función sqrt(1+x+x^2)-sqrt(x+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____________ ________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 1 + x + x - \/ x + x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Limit(sqrt(1 + x + x^2) - sqrt(x + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) \left(\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} + x}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - x\right) + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{\frac{x^{2} + x}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2}}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sqrt{u + 1} + \sqrt{u^{2} + u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{0}{\sqrt{1} + \sqrt{0^{2} + 1}} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) \left(\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} + x}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - x\right) + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{\frac{x^{2} + x}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2}}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sqrt{u + 1} + \sqrt{u^{2} + u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{0}{\sqrt{1} + \sqrt{0^{2} + 1}} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico