Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- x-sqrt(uno +x)
- x menos raíz cuadrada de (1 más x)
- x menos raíz cuadrada de (uno más x)
- x-√(1+x)
- x-sqrt1+x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(-1+x)-sqrt(1+x)
- (sqrt(-5+3*x)-sqrt(1+x))/(-3+x)
- (2+x^2-3*x)/(sqrt(5-x)-sqrt(1+x))
- sqrt(1-x)-sqrt(1+x)/x
- sqrt(1+x^2+3*x)-sqrt(1+x^2-3*x)
- x+sqrt(1+x)
- x-sqrt(1-x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2+x^2+4*x)-sqrt(2+x^2-2*x)
- sqrt(n+n^2)-n
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9*x)
- sqrt(2+x)/(-4+x)
Límite de la función x-sqrt(1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______\ lim \x - \/ 1 + x / x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x + 1}\right)$$
Limit(x - sqrt(1 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \sqrt{x + 1}\right) \left(x + \sqrt{x + 1}\right)}{x + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \left(\sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x - 1}{x + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x - 1}{x + \sqrt{x + 1}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{u}} - \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{u}}}}{\sqrt{u + 1} + \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$\frac{\left(\frac{1}{0}\right)^{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{0}} - \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{0}}}}{\sqrt{\frac{1}{0}} + \sqrt{1}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \sqrt{x + 1}\right) \left(x + \sqrt{x + 1}\right)}{x + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \left(\sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x - 1}{x + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x - 1}{x + \sqrt{x + 1}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{u}} - \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{u}}}}{\sqrt{u + 1} + \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$\frac{\left(\frac{1}{0}\right)^{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{0}} - \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{0}}}}{\sqrt{\frac{1}{0}} + \sqrt{1}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x + 1}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x - \sqrt{x + 1}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \sqrt{x + 1}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x - \sqrt{x + 1}\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - \sqrt{x + 1}\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sqrt{x + 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x - \sqrt{x + 1}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \sqrt{x + 1}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x - \sqrt{x + 1}\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - \sqrt{x + 1}\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sqrt{x + 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo