Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
- Derivada de:
-
x-sqrt(x^2+2*x)
-
Expresiones idénticas
- x-sqrt(x^ dos + dos *x)
- x menos raíz cuadrada de (x al cuadrado más 2 multiplicar por x)
- x menos raíz cuadrada de (x en el grado dos más dos multiplicar por x)
- x-√(x^2+2*x)
- x-sqrt(x2+2*x)
- x-sqrtx2+2*x
- x-sqrt(x²+2*x)
- x-sqrt(x en el grado 2+2*x)
- x-sqrt(x^2+2x)
- x-sqrt(x2+2x)
- x-sqrtx2+2x
- x-sqrtx^2+2x
-
Expresiones semejantes
- x+sqrt(x^2+2*x)
- x-sqrt(x^2-2*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2+x^2+4*x)-sqrt(2+x^2-2*x)
- sqrt(n+n^2)-n
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9*x)
- sqrt(x)-sqrt(-1+x)
Límite de la función x-sqrt(x^2+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ __________\
| / 2 |
lim \x - \/ x + 2*x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$
Limit(x - sqrt(x^2 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x^{2} + 2 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) \left(x + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)}{x + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + 2 x}\right)^{2}}{x + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x}{x + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x}{x + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} + 2 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\sqrt{\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{2}{\sqrt{2 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$- \frac{2}{1 + \sqrt{0 \cdot 2 + 1}} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x^{2} + 2 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) \left(x + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)}{x + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + 2 x}\right)^{2}}{x + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x}{x + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x}{x + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} + 2 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\sqrt{\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{2}{\sqrt{2 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$- \frac{2}{1 + \sqrt{0 \cdot 2 + 1}} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = -1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = 1 - \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = 1 - \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = 1 - \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = 1 - \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico