Sr Examen

Otras calculadoras:

sqrt(x^2+2*x)-sqrt(-3+x^2)
Límite de la función/ 3+x^2/ 2+2*x/ sqrt(x^2+2*x)-sqrt(-3+x^2)

Límite de la función sqrt(x^2+2*x)-sqrt(-3+x^2)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /   __________      _________\
     |  /  2            /       2 |
 lim \\/  x  + 2*x  - \/  -3 + x  /
x->1+
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$ 
Limit(sqrt(x^2 + 2*x) - sqrt(-3 + x^2), x, 1)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) \left(\sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)}{\sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} - 3}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + 2 x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 - x^{2}\right) + \left(x^{2} + 2 x\right)}{\sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{\sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$

Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 2 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} - 3}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 - \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 - \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u + 2}{\sqrt{1 - 3 u^{2}} + \sqrt{2 u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 3 + 2}{\sqrt{1 - 3 \cdot 0^{2}} + \sqrt{0 \cdot 2 + 1}} = 1$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = \sqrt{3} - \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = \sqrt{3} - \sqrt{2} i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = - \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = - \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /   __________      _________\
     |  /  2            /       2 |
 lim \\/  x  + 2*x  - \/  -3 + x  /
x->1+
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$ 
  ___       ___
\/ 3  - I*\/ 2
$$\sqrt{3} - \sqrt{2} i$$ 
= (1.73205080756888 - 1.4142135623731j)
     /   __________      _________\
     |  /  2            /       2 |
 lim \\/  x  + 2*x  - \/  -3 + x  /
x->1-
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$ 
  ___       ___
\/ 3  - I*\/ 2
$$\sqrt{3} - \sqrt{2} i$$ 
= (1.73205080756888 - 1.4142135623731j)
= (1.73205080756888 - 1.4142135623731j)
Respuesta rápida [src] 
  ___       ___
\/ 3  - I*\/ 2
$$\sqrt{3} - \sqrt{2} i$$
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
(1.73205080756888 - 1.4142135623731j)
(1.73205080756888 - 1.4142135623731j)
Gráfico
Límite de la función sqrt(x^2+2*x)-sqrt(-3+x^2)
    © Sr Examen