Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(\frac{5 x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\pi}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi \tan{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi \tan{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{x}{\pi}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\pi \left(\frac{5 \tan^{2}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{2} + \frac{5}{2}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\pi \left(\frac{5 \tan^{2}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{2} + \frac{5}{2}\right)\right)$$
=
$$\frac{5 \pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)