Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(5 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(5 x \right)}}{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - x^{2}} \left(5 \log{\left(x + 1 \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x + 1}\right)}{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \log{\left(x + 1 \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x + 1}}{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \log{\left(x + 1 \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x + 1}}{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$5$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)