Sr Examen

Otras calculadoras:

tan(x)/(3*x)
Límite de la función/ tan(x)/ tan(x)/(3*x)

Límite de la función tan(x)/(3*x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /tan(x)\
 lim |------|
x->0+\ 3*x  /
lim⁡x→0+(tan⁡(x)3x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3 x}\right) 
Limit(tan(x)/((3*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(tan⁡(x)3x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3 x}\right)
cambiamos
lim⁡x→0+(tan⁡(x)3x)=lim⁡x→0+(13xsin⁡(x)cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{1}{3 x} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(13xsin⁡(x))lim⁡x→0+1cos⁡(x)=lim⁡x→0+(13xsin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{3 x} \sin{\left(x \right)}\right) \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(x \right)}} = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{3 x} \sin{\left(x \right)}\right)
lim⁡x→0+(sin⁡(x)3x)=lim⁡u→0+(sin⁡(u)3u)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 u}\right)
=
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)3\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{3}
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(tan⁡(x)3x)=13\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{1}{3}
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(tan⁡(x)3)=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+x=0\lim_{x \to 0^+} x = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(tan⁡(x)3x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3 x}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(tan⁡(x)3x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3 x}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxtan⁡(x)3ddxx)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x \right)}}{3}}{\frac{d}{d x} x}\right)
=
lim⁡x→0+(tan⁡2(x)3+13)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{1}{3}\right)
=
lim⁡x→0+(tan⁡2(x)3+13)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{1}{3}\right)
=
13\frac{1}{3}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10105-5
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /tan(x)\
 lim |------|
x->0+\ 3*x  /
lim⁡x→0+(tan⁡(x)3x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3 x}\right) 
1/3
13\frac{1}{3} 
= 0.333333333333333
     /tan(x)\
 lim |------|
x->0-\ 3*x  /
lim⁡x→0−(tan⁡(x)3x)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3 x}\right) 
1/3
13\frac{1}{3} 
= 0.333333333333333
= 0.333333333333333
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(tan⁡(x)3x)=13\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{1}{3}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(tan⁡(x)3x)=13\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{1}{3}
lim⁡x→∞(tan⁡(x)3x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3 x}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(tan⁡(x)3x)=tan⁡(1)3\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\tan{\left(1 \right)}}{3}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(tan⁡(x)3x)=tan⁡(1)3\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\tan{\left(1 \right)}}{3}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(tan⁡(x)3x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{3 x}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
1/3
13\frac{1}{3}
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
0.333333333333333
0.333333333333333
Gráfico
Límite de la función tan(x)/(3*x)
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