Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 \sin{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 4$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 4$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)