Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función/ -pi/2/ cos(x)/ cos(x)^(-2)-1/(x-pi/2)^2

Límite de la función cos(x)^(-2)-1/(x-pi/2)^2

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      /   1          1    \
 lim  |------- - ---------|
   pi |   2              2|
x->--+|cos (x)   /    pi\ |
   2  |          |x - --| |
      \          \    2 / /
lim⁡x→π2+(1cos⁡2(x)−1(x−π2)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) 
Limit(cos(x)^(-2) - 1/(x - pi/2)^2, x, pi/2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→π2+(4x2−4πx−4cos⁡2(x)+π2)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(4 x^{2} - 4 \pi x - 4 \cos^{2}{\left(x \right)} + \pi^{2}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→π2+(4x2cos⁡2(x)−4πxcos⁡2(x)+π2cos⁡2(x))=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(4 x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \pi x \cos^{2}{\left(x \right)} + \pi^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→π2+(1cos⁡2(x)−1(x−π2)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→π2+((2x−π)2−4cos⁡2(x)(2x−π)2cos⁡2(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\left(2 x - \pi\right)^{2} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(2 x - \pi\right)^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(ddx(4x2−4πx−4cos⁡2(x)+π2)ddx(4x2cos⁡2(x)−4πxcos⁡2(x)+π2cos⁡2(x)))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 4 \pi x - 4 \cos^{2}{\left(x \right)} + \pi^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \pi x \cos^{2}{\left(x \right)} + \pi^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}\right)
=
lim⁡x→π2+(8x+8sin⁡(x)cos⁡(x)−4π−8x2sin⁡(x)cos⁡(x)+8πxsin⁡(x)cos⁡(x)+8xcos⁡2(x)−2π2sin⁡(x)cos⁡(x)−4πcos⁡2(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{8 x + 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \pi}{- 8 x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 8 \pi x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 8 x \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \pi^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \pi \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(8x+8sin⁡(x)cos⁡(x)−4π−8x2sin⁡(x)cos⁡(x)+8πxsin⁡(x)cos⁡(x)+8xcos⁡2(x)−2π2sin⁡(x)cos⁡(x)−4πcos⁡2(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{8 x + 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \pi}{- 8 x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 8 \pi x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 8 x \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \pi^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \pi \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)
=
13\frac{1}{3}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.005000
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→π2−(1cos⁡2(x)−1(x−π2)2)=13\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = \frac{1}{3}
Más detalles con x→pi/2 a la izquierda
lim⁡x→π2+(1cos⁡2(x)−1(x−π2)2)=13\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = \frac{1}{3}
lim⁡x→∞(1cos⁡2(x)−1(x−π2)2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(1cos⁡2(x)−1(x−π2)2)=−4+π2π2\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = \frac{-4 + \pi^{2}}{\pi^{2}}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(1cos⁡2(x)−1(x−π2)2)=−4+π2π2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = \frac{-4 + \pi^{2}}{\pi^{2}}
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(1cos⁡2(x)−1(x−π2)2)=−−π2−4+4cos⁡2(1)+4π−4πcos⁡2(1)+4cos⁡2(1)+π2cos⁡2(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = - \frac{- \pi^{2} - 4 + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 4 \pi}{- 4 \pi \cos^{2}{\left(1 \right)} + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)} + \pi^{2} \cos^{2}{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(1cos⁡2(x)−1(x−π2)2)=−−π2−4+4cos⁡2(1)+4π−4πcos⁡2(1)+4cos⁡2(1)+π2cos⁡2(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = - \frac{- \pi^{2} - 4 + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 4 \pi}{- 4 \pi \cos^{2}{\left(1 \right)} + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)} + \pi^{2} \cos^{2}{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(1cos⁡2(x)−1(x−π2)2)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
1/3
13\frac{1}{3}
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
      /   1          1    \
 lim  |------- - ---------|
   pi |   2              2|
x->--+|cos (x)   /    pi\ |
   2  |          |x - --| |
      \          \    2 / /
lim⁡x→π2+(1cos⁡2(x)−1(x−π2)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) 
1/3
13\frac{1}{3} 
= 0.333333333333333
      /   1          1    \
 lim  |------- - ---------|
   pi |   2              2|
x->---|cos (x)   /    pi\ |
   2  |          |x - --| |
      \          \    2 / /
lim⁡x→π2−(1cos⁡2(x)−1(x−π2)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) 
1/3
13\frac{1}{3} 
= 0.333333333333333
= 0.333333333333333
Respuesta numérica [src] 
0.333333333333333
0.333333333333333
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