Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- cot(nueve *x)^ dos *(uno -cos(tres *x))
- cotangente de (9 multiplicar por x) al cuadrado multiplicar por (1 menos coseno de (3 multiplicar por x))
- cotangente de (nueve multiplicar por x) en el grado dos multiplicar por (uno menos coseno de (tres multiplicar por x))
- cot(9*x)2*(1-cos(3*x))
- cot9*x2*1-cos3*x
- cot(9*x)²*(1-cos(3*x))
- cot(9*x) en el grado 2*(1-cos(3*x))
- cot(9x)^2(1-cos(3x))
- cot(9x)2(1-cos(3x))
- cot9x21-cos3x
- cot9x^21-cos3x
-
Expresiones semejantes
- cot(9*x)^2*(1+cos(3*x))
-
Expresiones con funciones
- Cotangente cot
- cot(2*x)*sin(5*x)
- cot(3*x)*sin(6*x)
- cot(x)*tan(x)
- cot(3*x)*sin(2*x)*tan(8*x)/(cos(6*x)*tan(4*x))
- cot(p*x)*log(x)
- Coseno cos
- cos(x)/(-1+x)
- cos(x)/cos(2*x)
- cos(pi*x)^(sin(pi*x)/x)
- cos(-1+e^(x^2))/(-1+cos(x))
- cos(2*pi/x)/(-1+3*x)
Límite de la función cot(9*x)^2*(1-cos(3*x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \ lim \cot (9*x)*(1 - cos(3*x))/ x->0+
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right)$$
Limit(cot(9*x)^2*(1 - cos(3*x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot^{2}{\left(9 x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot^{2}{\left(9 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(3 x \right)} \cot^{3}{\left(9 x \right)}}{18 \cot^{2}{\left(9 x \right)} + 18}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{18 \cot^{2}{\left(9 x \right)} + 18}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{3 \sin{\left(3 x \right)} \cot^{3}{\left(9 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{18 \left(- 18 \cot^{2}{\left(9 x \right)} - 18\right) \cot{\left(9 x \right)}}{\left(\frac{27 \cot^{2}{\left(9 x \right)} + 27}{3 \sin{\left(3 x \right)} \cot^{4}{\left(9 x \right)}} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)} \cot^{3}{\left(9 x \right)}}\right) \left(18 \cot^{2}{\left(9 x \right)} + 18\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{18 \left(- 18 \cot^{2}{\left(9 x \right)} - 18\right) \cot{\left(9 x \right)}}{\left(\frac{27 \cot^{2}{\left(9 x \right)} + 27}{3 \sin{\left(3 x \right)} \cot^{4}{\left(9 x \right)}} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)} \cot^{3}{\left(9 x \right)}}\right) \left(18 \cot^{2}{\left(9 x \right)} + 18\right)^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1}{18}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot^{2}{\left(9 x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot^{2}{\left(9 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(3 x \right)} \cot^{3}{\left(9 x \right)}}{18 \cot^{2}{\left(9 x \right)} + 18}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{18 \cot^{2}{\left(9 x \right)} + 18}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{3 \sin{\left(3 x \right)} \cot^{3}{\left(9 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{18 \left(- 18 \cot^{2}{\left(9 x \right)} - 18\right) \cot{\left(9 x \right)}}{\left(\frac{27 \cot^{2}{\left(9 x \right)} + 27}{3 \sin{\left(3 x \right)} \cot^{4}{\left(9 x \right)}} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)} \cot^{3}{\left(9 x \right)}}\right) \left(18 \cot^{2}{\left(9 x \right)} + 18\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{18 \left(- 18 \cot^{2}{\left(9 x \right)} - 18\right) \cot{\left(9 x \right)}}{\left(\frac{27 \cot^{2}{\left(9 x \right)} + 27}{3 \sin{\left(3 x \right)} \cot^{4}{\left(9 x \right)}} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)} \cot^{3}{\left(9 x \right)}}\right) \left(18 \cot^{2}{\left(9 x \right)} + 18\right)^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1}{18}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \ lim \cot (9*x)*(1 - cos(3*x))/ x->0+
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right)$$
1/18
$$\frac{1}{18}$$
= 0.0555555555555556
/ 2 \ lim \cot (9*x)*(1 - cos(3*x))/ x->0-
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right)$$
1/18
$$\frac{1}{18}$$
= 0.0555555555555556
= 0.0555555555555556
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right) = \frac{1}{18}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right) = \frac{1}{18}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right) = - \frac{-1 + \cos{\left(3 \right)}}{\tan^{2}{\left(9 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right) = - \frac{-1 + \cos{\left(3 \right)}}{\tan^{2}{\left(9 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right) = \frac{1}{18}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right) = - \frac{-1 + \cos{\left(3 \right)}}{\tan^{2}{\left(9 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right) = - \frac{-1 + \cos{\left(3 \right)}}{\tan^{2}{\left(9 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) \cot^{2}{\left(9 x \right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo