Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
-
Límite de (-1+e^x)/x
-
Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
-
Expresiones idénticas
- x+x^ dos *cos(uno /x)-e^(uno /x)*x^ dos
- x más x al cuadrado multiplicar por coseno de (1 dividir por x) menos e en el grado (1 dividir por x) multiplicar por x al cuadrado
- x más x en el grado dos multiplicar por coseno de (uno dividir por x) menos e en el grado (uno dividir por x) multiplicar por x en el grado dos
- x+x2*cos(1/x)-e(1/x)*x2
- x+x2*cos1/x-e1/x*x2
- x+x²*cos(1/x)-e^(1/x)*x²
- x+x en el grado 2*cos(1/x)-e en el grado (1/x)*x en el grado 2
- x+x^2cos(1/x)-e^(1/x)x^2
- x+x2cos(1/x)-e(1/x)x2
- x+x2cos1/x-e1/xx2
- x+x^2cos1/x-e^1/xx^2
- x+x^2*cos(1 dividir por x)-e^(1 dividir por x)*x^2
-
Expresiones semejantes
- x-x^2*cos(1/x)-e^(1/x)*x^2
- x+x^2*cos(1/x)+e^(1/x)*x^2
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)^(1/x)
- cos(2*x)^(3/x^2)
- cos(x)*sin(x)/x
- cos(3*x)*sin(2*x)/(cot(4*x)*sin(x))
- cos(4*x)
Límite de la función x+x^2*cos(1/x)-e^(1/x)*x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 /1\ x ___ 2\ lim |x + x *cos|-| - \/ E *x | x->oo\ \x/ /
$$\lim_{x \to \infty}\left(- e^{\frac{1}{x}} x^{2} + \left(x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x\right)\right)$$
Limit(x + x^2*cos(1/x) - E^(1/x)*x^2, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{- x e^{\frac{1}{x}} + x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(- e^{\frac{1}{x}} x^{2} + \left(x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x e^{\frac{1}{x}} + x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{- x e^{\frac{1}{x}} + x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} e^{\frac{2}{x}} - 2 x^{2} e^{\frac{1}{x}} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 2 x e^{\frac{1}{x}} + 2 x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{e^{\frac{1}{x}} - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} e^{\frac{2}{x}} - 2 x^{2} e^{\frac{1}{x}} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 2 x e^{\frac{1}{x}} + 2 x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{e^{\frac{1}{x}} - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{- x e^{\frac{1}{x}} + x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(- e^{\frac{1}{x}} x^{2} + \left(x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x e^{\frac{1}{x}} + x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{- x e^{\frac{1}{x}} + x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} e^{\frac{2}{x}} - 2 x^{2} e^{\frac{1}{x}} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 2 x e^{\frac{1}{x}} + 2 x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{e^{\frac{1}{x}} - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} e^{\frac{2}{x}} - 2 x^{2} e^{\frac{1}{x}} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 2 x e^{\frac{1}{x}} + 2 x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{e^{\frac{1}{x}} - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- e^{\frac{1}{x}} x^{2} + \left(x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x\right)\right) = -1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- e^{\frac{1}{x}} x^{2} + \left(x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- e^{\frac{1}{x}} x^{2} + \left(x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x\right)\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- e^{\frac{1}{x}} x^{2} + \left(x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x\right)\right) = - e + \cos{\left(1 \right)} + 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- e^{\frac{1}{x}} x^{2} + \left(x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x\right)\right) = - e + \cos{\left(1 \right)} + 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- e^{\frac{1}{x}} x^{2} + \left(x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x\right)\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- e^{\frac{1}{x}} x^{2} + \left(x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- e^{\frac{1}{x}} x^{2} + \left(x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x\right)\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- e^{\frac{1}{x}} x^{2} + \left(x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x\right)\right) = - e + \cos{\left(1 \right)} + 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- e^{\frac{1}{x}} x^{2} + \left(x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x\right)\right) = - e + \cos{\left(1 \right)} + 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- e^{\frac{1}{x}} x^{2} + \left(x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x\right)\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo