Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-12+x+x^2)/(sqrt(-2+x)-sqrt(4-x))
-
Límite de (5+x^2)/(-3+x^2)
-
Límite de (-2+sqrt(1+x))/(-1+sqrt(-2+x))
-
Límite de (6-11*x+3*x^2)/(-3-5*x+2*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (- tres +x)/(sqrt(x)-sqrt(seis -x))
- ( menos 3 más x) dividir por ( raíz cuadrada de (x) menos raíz cuadrada de (6 menos x))
- ( menos tres más x) dividir por ( raíz cuadrada de (x) menos raíz cuadrada de (seis menos x))
- (-3+x)/(√(x)-√(6-x))
- -3+x/sqrtx-sqrt6-x
- (-3+x) dividir por (sqrt(x)-sqrt(6-x))
-
Expresiones semejantes
- (-3+x)/(sqrt(x)-sqrt(6+x))
- (3+x)/(sqrt(x)-sqrt(6-x))
- (-3+x)/(sqrt(x)+sqrt(6-x))
- (-3-x)/(sqrt(x)-sqrt(6-x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt((a+x)*(b+x))-x
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt((a+x)*(b+x))-x
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
Límite de la función (-3+x)/(sqrt(x)-sqrt(6-x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ -3 + x \
lim |-----------------|
x->3+| ___ _______|
\\/ x - \/ 6 - x /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right)$$
Limit((-3 + x)/(sqrt(x) - sqrt(6 - x)), x, 3)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x} + \sqrt{6 - x}$$
obtendremos
$$\frac{\left(\sqrt{x} + \sqrt{6 - x}\right) \left(x - 3\right)}{\left(\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}\right) \left(\sqrt{x} + \sqrt{6 - x}\right)}$$
=
$$\frac{\left(\sqrt{x} + \sqrt{6 - x}\right) \left(x - 3\right)}{2 x - 6}$$
=
$$\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{\sqrt{6 - x}}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{\sqrt{6 - x}}{2}\right)$$
=
$$\sqrt{3}$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x} + \sqrt{6 - x}$$
obtendremos
$$\frac{\left(\sqrt{x} + \sqrt{6 - x}\right) \left(x - 3\right)}{\left(\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}\right) \left(\sqrt{x} + \sqrt{6 - x}\right)}$$
=
$$\frac{\left(\sqrt{x} + \sqrt{6 - x}\right) \left(x - 3\right)}{2 x - 6}$$
=
$$\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{\sqrt{6 - x}}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{\sqrt{6 - x}}{2}\right)$$
=
$$\sqrt{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x - 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{6 - x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{6 - x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$$
=
$$\sqrt{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x - 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{6 - x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{6 - x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$$
=
$$\sqrt{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ -3 + x \
lim |-----------------|
x->3+| ___ _______|
\\/ x - \/ 6 - x /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right)$$
___ \/ 3
$$\sqrt{3}$$
= 1.73205080756888
/ -3 + x \
lim |-----------------|
x->3-| ___ _______|
\\/ x - \/ 6 - x /
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right)$$
___ \/ 3
$$\sqrt{3}$$
= 1.73205080756888
= 1.73205080756888
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \sqrt{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \frac{2}{-1 + \sqrt{5}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \frac{2}{-1 + \sqrt{5}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \sqrt{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \frac{2}{-1 + \sqrt{5}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \frac{2}{-1 + \sqrt{5}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{6 - x}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Más detalles con x→-oo