Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de x/sin(14*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(cinco +x^ dos + seis *x)-x
- raíz cuadrada de (5 más x al cuadrado más 6 multiplicar por x) menos x
- raíz cuadrada de (cinco más x en el grado dos más seis multiplicar por x) menos x
- √(5+x^2+6*x)-x
- sqrt(5+x2+6*x)-x
- sqrt5+x2+6*x-x
- sqrt(5+x²+6*x)-x
- sqrt(5+x en el grado 2+6*x)-x
- sqrt(5+x^2+6x)-x
- sqrt(5+x2+6x)-x
- sqrt5+x2+6x-x
- sqrt5+x^2+6x-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(5-x^2+6*x)-x
- sqrt(5+x^2-6*x)-x
- sqrt(5+x^2+6*x)+x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(x))
- sqrt(n)*(1+(1+n)^2)/(sqrt(1+n)*(1+n^2))
- sqrt(10+2*x)-sqrt(20+x)
Límite de la función sqrt(5+x^2+6*x)-x
Solución
Ha introducido
[src]
/ ______________ \
| / 2 |
lim \\/ 5 + x + 6*x - x/
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)$$
Limit(sqrt(5 + x^2 + 6*x) - x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) \left(x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)}{x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 5}{x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 5}{x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{5}{x}}{1 + \frac{\sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{5}{x}}{\sqrt{\frac{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{5}{x}}{\sqrt{1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{5}{x}}{\sqrt{1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u + 6}{\sqrt{5 u^{2} + 6 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 5 + 6}{1 + \sqrt{5 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 6 + 1}} = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) \left(x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)}{x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 5}{x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 5}{x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{5}{x}}{1 + \frac{\sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{5}{x}}{\sqrt{\frac{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{5}{x}}{\sqrt{1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{5}{x}}{\sqrt{1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u + 6}{\sqrt{5 u^{2} + 6 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 5 + 6}{1 + \sqrt{5 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 6 + 1}} = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = 3$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = -1 + 2 \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = -1 + 2 \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = -1 + 2 \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = -1 + 2 \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{6 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico