Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- x^(tres / dos)*(- uno +sqrt(uno + tres /x))
- x en el grado (3 dividir por 2) multiplicar por ( menos 1 más raíz cuadrada de (1 más 3 dividir por x))
- x en el grado (tres dividir por dos) multiplicar por ( menos uno más raíz cuadrada de (uno más tres dividir por x))
- x^(3/2)*(-1+√(1+3/x))
- x(3/2)*(-1+sqrt(1+3/x))
- x3/2*-1+sqrt1+3/x
- x^(3/2)(-1+sqrt(1+3/x))
- x(3/2)(-1+sqrt(1+3/x))
- x3/2-1+sqrt1+3/x
- x^3/2-1+sqrt1+3/x
- x^(3 dividir por 2)*(-1+sqrt(1+3 dividir por x))
-
Expresiones semejantes
- x^(3/2)*(-1-sqrt(1+3/x))
- x^(3/2)*(1+sqrt(1+3/x))
- x^(3/2)*(-1+sqrt(1-3/x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((a+x)*(b+x))-x
- sqrt(-1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x)
- sqrt(3+x^2+2*x)-x
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))/sqrt(1+x)
- sqrt(x)-log(x)
Límite de la función x^(3/2)*(-1+sqrt(1+3/x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / _______\\
| 3/2 | / 3 ||
lim |x *|-1 + / 1 + - ||
x->oo\ \ \/ x //
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right)\right)$$
Limit(x^(3/2)*(-1 + sqrt(1 + 3/x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{3}{2}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 3}{x}} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{\frac{x + 3}{x}} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 3}{x}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3 \left(x + 3\right) \left(\sqrt{\frac{x + 3}{x}} - 1\right)^{2}}{2 \sqrt{x} \sqrt{\frac{x + 3}{x}} \left(\frac{1}{2 x} - \frac{x + 3}{2 x^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}} \left(- 6 x \sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 6 x - 18 \sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 27 + \frac{27}{x}\right)}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}} \left(- 6 x \sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 6 x - 18 \sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 27 + \frac{27}{x}\right)}{3}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{3}{2}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 3}{x}} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{\frac{x + 3}{x}} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 3}{x}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3 \left(x + 3\right) \left(\sqrt{\frac{x + 3}{x}} - 1\right)^{2}}{2 \sqrt{x} \sqrt{\frac{x + 3}{x}} \left(\frac{1}{2 x} - \frac{x + 3}{2 x^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}} \left(- 6 x \sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 6 x - 18 \sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 27 + \frac{27}{x}\right)}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}} \left(- 6 x \sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 6 x - 18 \sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 27 + \frac{27}{x}\right)}{3}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right)\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right)\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right)\right) = \infty i$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right)\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right)\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right)\right) = \infty i$$
Más detalles con x→-oo