Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x^(1-x)
-
Límite de (1-2/x)^x
-
Límite de -2+x
-
Límite de x^2/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (e^(-z^ dos / dos)-cos(z))/z^ cuatro
- (e en el grado ( menos z al cuadrado dividir por 2) menos coseno de (z)) dividir por z en el grado 4
- (e en el grado ( menos z en el grado dos dividir por dos) menos coseno de (z)) dividir por z en el grado cuatro
- (e(-z2/2)-cos(z))/z4
- e-z2/2-cosz/z4
- (e^(-z²/2)-cos(z))/z⁴
- (e en el grado (-z en el grado 2/2)-cos(z))/z en el grado 4
- e^-z^2/2-cosz/z^4
- (e^(-z^2 dividir por 2)-cos(z)) dividir por z^4
-
Expresiones semejantes
- (e^(z^2/2)-cos(z))/z^4
- (e^(-z^2/2)+cos(z))/z^4
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(3*pi*x)^(1/(x*sin(2*pi*x)))
- cos(x)/(1+x)
- cos(x)/cos(2*x)
- cos(pi/(6*x))
- cos(-1+e^(x^2))/(-1+cos(x))
Límite de la función (e^(-z^2/2)-cos(z))/z^4
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| -z |
| ---- |
| 2 |
|E - cos(z)|
lim |--------------|
z->0+| 4 |
\ z /
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right)$$
Limit((E^((-z^2)/2) - cos(z))/z^4, z, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{z \to 0^+}\left(- e^{\frac{z^{2}}{2}} \cos{\left(z \right)} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{z \to 0^+}\left(z^{4} e^{\frac{z^{2}}{2}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\left(- e^{\frac{z^{2}}{2}} \cos{\left(z \right)} + 1\right) e^{- \frac{z^{2}}{2}}}{z^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d z} \left(- e^{\frac{z^{2}}{2}} \cos{\left(z \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d z} z^{4} e^{\frac{z^{2}}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{- z e^{\frac{z^{2}}{2}} \cos{\left(z \right)} + e^{\frac{z^{2}}{2}} \sin{\left(z \right)}}{z^{5} e^{\frac{z^{2}}{2}} + 4 z^{3} e^{\frac{z^{2}}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{- z e^{\frac{z^{2}}{2}} \cos{\left(z \right)} + e^{\frac{z^{2}}{2}} \sin{\left(z \right)}}{z^{5} e^{\frac{z^{2}}{2}} + 4 z^{3} e^{\frac{z^{2}}{2}}}\right)$$
=
$$\frac{1}{12}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{z \to 0^+}\left(- e^{\frac{z^{2}}{2}} \cos{\left(z \right)} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{z \to 0^+}\left(z^{4} e^{\frac{z^{2}}{2}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\left(- e^{\frac{z^{2}}{2}} \cos{\left(z \right)} + 1\right) e^{- \frac{z^{2}}{2}}}{z^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d z} \left(- e^{\frac{z^{2}}{2}} \cos{\left(z \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d z} z^{4} e^{\frac{z^{2}}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{- z e^{\frac{z^{2}}{2}} \cos{\left(z \right)} + e^{\frac{z^{2}}{2}} \sin{\left(z \right)}}{z^{5} e^{\frac{z^{2}}{2}} + 4 z^{3} e^{\frac{z^{2}}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{- z e^{\frac{z^{2}}{2}} \cos{\left(z \right)} + e^{\frac{z^{2}}{2}} \sin{\left(z \right)}}{z^{5} e^{\frac{z^{2}}{2}} + 4 z^{3} e^{\frac{z^{2}}{2}}}\right)$$
=
$$\frac{1}{12}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con z→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right) = \frac{1}{12}$$
Más detalles con z→0 a la izquierda
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right) = \frac{1}{12}$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con z→oo
$$\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right) = - \frac{-1 + e^{\frac{1}{2}} \cos{\left(1 \right)}}{e^{\frac{1}{2}}}$$
Más detalles con z→1 a la izquierda
$$\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right) = - \frac{-1 + e^{\frac{1}{2}} \cos{\left(1 \right)}}{e^{\frac{1}{2}}}$$
Más detalles con z→1 a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con z→-oo
Más detalles con z→0 a la izquierda
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right) = \frac{1}{12}$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con z→oo
$$\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right) = - \frac{-1 + e^{\frac{1}{2}} \cos{\left(1 \right)}}{e^{\frac{1}{2}}}$$
Más detalles con z→1 a la izquierda
$$\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right) = - \frac{-1 + e^{\frac{1}{2}} \cos{\left(1 \right)}}{e^{\frac{1}{2}}}$$
Más detalles con z→1 a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con z→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| -z |
| ---- |
| 2 |
|E - cos(z)|
lim |--------------|
z->0+| 4 |
\ z /
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right)$$
1/12
$$\frac{1}{12}$$
= 0.0833333333333333
/ 2 \
| -z |
| ---- |
| 2 |
|E - cos(z)|
lim |--------------|
z->0-| 4 |
\ z /
$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) z^{2}}{2}} - \cos{\left(z \right)}}{z^{4}}\right)$$
1/12
$$\frac{1}{12}$$
= 0.0833333333333333
= 0.0833333333333333